х∈ [-∞, -4).
Это и есть решение системы неравенств.
Объяснение:
Решить систему неравенств:
5х-8<=2x+1
x²-x-20>0
Первое неравенство:
5х-8<=2x+1
5х-2х<=1+8
3х<=9
x<=3
x∈(-∞, 3] интервал решений первого неравенства, при х от - бесконечности до 3.
Неравенство нестрогое, значение х=3 входит в число решений неравенства, поэтому скобка квадратная.
Втрое неравенство приравняем к нулю и решим квадратное уравнение:
x²-x-20=0
х₁,₂=(1±√1+80)/2
х₁,₂=(1±√81)/2
х₁,₂=(1±9)/2
х₁= -8/2
х₁= -4
х₂=10/2
х₂=5
Начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -4 и х=5. По графику ясно видно, что у>0 слева и справа от значений х, то есть, решения неравенства находятся в интервале х∈ (-∞, -4)∪(5, +∞).
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно на числовой оси отметить интервалы решений двух данных неравенств, и найти пересечение решений, то есть, такое решение, которое подходит и первому и второму неравенствам.
Пересечение решений х∈ [-∞, -4).
Это и есть решение системы неравенств.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Решите систему уравнений { 3xy -x =5 ; 3xy -y= 4
ответ: (x₁ ; y₁) = ( -5/3 ; -2/3 ) ; ( x₂ ; y₂) = (1 ; 2) .
Объяснение:
{ 3xy -x =5 ; 3xy -y= 4 . ⇔ { 3xy -x-(3xy -y) = 5 - 4 ; 3xy -x =5 . ⇔
{ y=x+1 ; 3xy - x =5 .⇔ { y=x+1 ; 3x(x+1) - x -5 =0 .⇔ { y=x+1 ; 3x²+2x -5 =0 .
3x²+2x -5 =0
D₁= D/4 =( 2/2)² - 3*(-5) =1²+15 =16 = 4² ; x = (-1 ± √D₁)/3
⇒ x₁ = (-1 -4) /3 = - 5/3 ⇒ y₁ = x₁+1 = -5/3+1 = -2/3
x₂ = (-1 +4) /3 = 1 ⇒ y₂ = x₂+1 =1 +1 = 2 .