Объяснение:
1) 0,5·sin2x = sin35° ⇔ sin2x = 2·sin35° (1) ; так как y = sinx
возрастает в первой четверти , то sin35° > sin30° = 0,5 ⇒
2·sin35° > 1 ⇒ уравнение (1) не имеет решений
2) arcsin 2x = arccos x (2) , arccos x ≥ 0 для всех х ⇒ arcsin 2x ≥ 0
⇒ х ≥ 0 ; так как из области определения у = arcsin2x следует
, что х ≤ 0,5 , то уравнение (2) имеет решение только ,
если x ∈ [ 0 ; 0,5] , на этом отрезке левая часть уравнения
меняется от 0 до π/2 , а правая от π/3 до π/2 ⇒
уравнение ( 2) имеет решение , если множество
значений обеих частей не выходит за пределы [π/3 ; π/2] , но
на этом отрезке функция y = sinx - возрастает ⇒ уравнение ( 1 )
равносильно на [ 0 ; 0,5] следующему :
sin(arcsin2x) = sin(arccosx)
2x = 
⇔ 4x² = 1 - x² ⇔ x² = 1/5 ⇒
x = 
( так как х ≥ 0)
функции , стоящие в левой и правой частях уравнения имеют
разную монотонность , поэтому сразу ясно , что уравнение
имеет не более одного корня , в этом случае его достаточно
" угадать " , но угадать не получилось , пришлось брать
синусы от обеих частей
f(x) = g(x) ⇔ h(f(x)) = h(g(x) ) , если h(x) - монотонна и значения
f и g входят в область определения функции h , поэтому
и пришлось доказывать , что значения f и g не выходят
за пределы первой четверти , а там синус возрастает и
поэтому законно брать синусы от обеих частей
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
(a + b)² = a² + 2ab + b² - формула
Пусть х см - больший катет, тогда у см - меньший катет. Известно, что х на 3 см больше у. Гипотенуза равна 15 см. Составим систему уравнений по условию задачи.
{х² + у² = 15²
{х = (у + 3)
- - - - - - - - - - - - -
(у + 3)² + у² = 15²
у² + 6у + 9 + у² = 225
2у² + 6у - 216 = 0
Сократим обе части уравнения на 2
у² + 3у - 108 = 0
D = b² - 4ac = 3² - 4 · 1 · (-108) = 9 + 432 = 441
√D = √441 = 21
у₁ = (-3-21)/(2·1) = -24/2 = -12 (не подходит, так как < 0)
у₂ = (-3+21)/(2·1) = 18/2 = 9
х = у + 3 = 9 + 3 = 12
ответ: 12 см и 9 см.
Проверка:
12² + 9² = 15²
144 + 81 = 225
225 = 225 - верно.