1. Три числа, из которых третье равно 18, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 18 взять число 16, то эти числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
Давайте обозначим первое число геометрической прогрессии как а, а знаменатель прогрессии - q. Тогда второе число будет равно а*q, а третье - а*q*q.
Если мы заменим третье число на 18, то получим уравнение: а*q*q = 18.
Если вместо 18 мы возьмем число 16, то второе число будет равно а + d, где d – это шаг арифметической прогрессии.
Таким образом, получим следующее уравнение: а + 2d = 16.
Теперь нам нужно решить эту систему уравнений.
Решим первое уравнение относительно а: а = 18 / (q*q).
Теперь подставим значение а во второе уравнение: 18 / (q*q) + 2d = 16.
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить уравнение вида: 18 + 2d*q*q = 16*q*q.
Теперь нам нужно решить это уравнение относительно d.
2d*q*q - 16*q*q = -18.
2d*q*q - 16*q*q + 18 = 0.
D = 16*16 - 4*2*18.
D = 256 - 144.
D = 112.
Вершина параболы – это d = -b/2a, где a = 2q*q, b = -16*q*q + 18.
d = -(-16*q*q + 18) / (2*q*q).
d = (16*q*q - 18) / (2*q*q).
Теперь подставим это значение в первое уравнение: а = 18 / (q*q).
Теперь у нас есть значения а и d. Для нахождения трех чисел геометрической прогрессии, которые вместе с третьим числом (18) образуют геометрическую прогрессию, нужно умножить третье число (18) на знаменатель q, а потом умножить полученное значение на q снова. Таким образом, первое число равно 18 / (q*q) * q*q = 18.
Второе число равно 18 / (q*q) * q = 18 / q.
Теперь у нас есть все числа геометрической прогрессии.
2. Первый член бесконечной геометрической прогрессии на 8 больше второго, а значение суммы ее членов равно 18. Найдите четвертый член этой прогрессии.
Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как а, а знаменатель прогрессии - q. Тогда второй число будет равно а*q.
Зная, что первый член на 8 больше второго, имеем следующее равенство: а = а*q + 8.
Также, нам известно, что сумма членов прогрессии равна 18. Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = а / (1 - q).
Подставим это значение в уравнение: 18 = а / (1 - q).
Теперь у нас есть система уравнений. Решим ее.
Сначала решим уравнение а = а*q + 8 относительно а: а = 8 / (1 - q).
Теперь мы знаем, что а = 8 / (1 - q).
Подставим это значение во второе уравнение: 18 = (8 / (1 - q)) / (1 - q).
Перенесем все в одну сторону и приведем уравнение к виду: 18*(1 - q) = 8.
Раскроем скобку: 18 - 18q = 8.
Перенесем все, что содержит q, влево: 18q = 18 - 8.
Решим это уравнение и найдем значение q: q = (18 - 8) / 18.
q = 10 / 18.
q = 5 / 9.
Теперь, когда мы знаем значение q, мы можем подставить его в выражение а = 8 / (1 - q) и найти значение первого члена а: а = 8 / (1 - 5/9).
а = 8 * 9/4.
а = 18.
Теперь у нас есть значение первого члена а геометрической прогрессии. Для нахождения четвертого члена этой прогрессии мы можем воспользоваться формулой общего члена геометрической прогрессии: аn = а * q^(n-1), где а - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.
Подставим значения в формулу: а4 = 18 * (5/9)^(4-1).
а4 = 18 * (5/9)^3.
а4 = 18 * (125/729).
а4 = 2250/729.
а4 ≈ 3.08.
Ответ: четвертый член этой прогрессии примерно равен 3.08.
Надеюсь, что мой ответ был подробным и обстоятельным. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.
решение смотри на фотографии