Question

разобраться с решением 1) Как вообще соотносятся промежутки и луч? Правильно ли я понимаю, что в случае с промежутками график должен быть такой же, как на третьей картинке?

2) Почему в промежутке от -бескон. до 0.5 стоит минус? Почему в других промежутках плюсы? Как вообще мы узнаем знаки функции если не знаем а ?

Answer 1

попробую дать более подробный разбор

итак дано неравентсво

$\displaystyle \frac{x-2}{ax^2-(a^2+1)x+a}\geq 0$. где a>0

рассмотрим знаменатель дроби

зададим функцию f(x)=ax²-(a²+1)x+a;  т.к. a>0 то это парабола, ветви "вверх"

найдем ее корни

$\displaystyle D=(a^2+1)^2-4*a*a=a^4+2a^2+1-4a^2=a^4-2a+1=(a^2-1)^2$

тогда

$\displaystyle x_1=\frac{a^2+1+a^2-1}{2a}=a\\\\x_2=\frac{a^2+1-a^2+1}{2a}=\frac{1}{a}$

а теперь рассуждения:

чтобы решить неравентсво методом интервалов определяем корни числителя и знаменателя, это числа 2, a и 1/а

1)  все корни различны

напомню что а и 1/а корни параболы "ветви вверх" , х=2 корень прямой направленной тоже вверх. Тогда не проблема расставить знаки промежутков  

получим вариант   №1  

парабола     ___+___ 1/а______---_______а___+__

прямая                      -------             2               +

и тогда решением будет (1/a;2] ∪ (a;+∞)

увы- не луч.. а отрезок и луч

вариант  №2  

парабола     __+_ 1/а___---__а___+_______

прямая                      -------               2       +

и тогда решением будет (1/a;а) ∪ [2;+∞)

увы- не луч.. а отрезок и луч

2) теперь допустим что a=2; тогда 1/a=0.5

рисуем

парабола     __+_ 1/а___---__а___+_______

прямая                      -------       2       +

и тогда решением будет (1/2;2) ∪ (2;+∞)

т.к. х=2 корень знаменателя и он выкалывается

и опять не луч

аналогично при 1/а=2

3) осталось проверить условие что а=1/а, это возможно при а=1

рисуем

парабола     __+_ 1/а=а___+_______

прямая                   -------       2       +

и тогда решением будет  [2;+∞)

Уряяя. получили просто луч