Question

Найдите корни уравнения (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=9/16

Answer 1

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=9/16

(x-2)(x-3) = х² - 5х + 6

(х - 1)(х - 4) = х² - 5 х + 4 = (х² - 5х + 6) - 2

[(х² - 5х + 6) - 2]·(х² - 5х + 6) = 9/16

(х² - 5х + 6)² - 2·(х² - 5х + 6) - 9/16 = 0

замена у = х² - 5х + 6

у² - 2у - 9/16 = 0

D = 4 + 9/4 = 25/4

√D = 5/2

y₁ = (2 - 5/2):2 = -1/4

y₂ = (2 + 5/2):2 = 9/4

возвращаемся к замене

1) х² - 5х + 6 = -1/4

х² - 5х + 25/4 = 0

D = 25 - 25 = 0

x = 5/2 = 2,5

2) х² - 5х + 6 = 9/4

х² - 5х + 15/4 = 0

D = 25 - 15 = 10

√D = √10

x₁ = (5 - √10):2 = 2,5 - √2.5 = √2.5 (√2.5 - 1)

x₂ = (5 + √10):2 = 2,5 + √2.5 = √2.5 (√2.5 + 1)

ответ: уравнение имеет два различных корня

x₁ =  √2.5 (√2.5 - 1) и x₂ = √2.5 (√2.5 + 1)

и кратный корень

х₃ = х₄ = 2,5

Answer 2

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=9/16 \\ (x-2)(x-3)(x-1)(x-4)=9/16 \\ (x^{2}-5x+6)(x^{2}-5x+4)=9/16$

Делаем замену $x^{2}-5x+4=a$.

Тогда  $x^{2}-5x+6=a+2$

Получаем уравнение $(a+2)a=9/16 \\ a^{2}+2a-9/16=0\\ 16a^{2}+32a-9=0\\ D/4=400\\ a=-1/4; 9/4\\ \\ x^{2}-5x+4=1/4\\ 4x^{2}-20x+15=0\\ D/4=40\\ x=(10+2\sqrt10)/4\\ x=(10-2\sqrt10)/4\\ \\ x^{2}-5x+4=-9/4\\ 4x^{2}-20x+25=0\\ D/4=0\\ x=10/4=2,5\\$