Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне[10].
Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[11]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными[10]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[11].
После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и при в первую очередь для решения квадратных уравнений[12]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[13]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение {\displaystyle x^{3}+ax+b=0}x^{3}+ax+b=0. Отдельные задачи решались с конических сечений[14].
Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[15]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[16].
Художественные изделия из проволоки (ажурная скульптура из металла)
Проволока является простым и доступным материалом, с которого вы можете изобразить фигурки животных и птиц или оформить предметы быта.
На рис. 84 показаны выполненные из проволоки изображения животных, которые можно назвать ажурными скульптурами из металла. Эти скульптуры выполнены художником В. Цигалем. Скупыми, но выразительными линиями ему удалось передать контуры животных, показать особенность каждого из них (печальные глаза ослика, горделивую осанку верблюда, живость и настороженность кенгуру).
Следует обратить внимание на практическое применение проволочных скульптур: ослик везет в тележке кактус, кенгуру держит керамическую пепельницу, верблюд подставку под кисти.
Прежде чем приступать к изготовлению подобных изделий, на листе бумаги выполняют эскиз будущей ажурной скульптуры. Затем подготавливают проволоку и инструменты.
Для изготовления таких скульптур малых форм применяют стальную или медную проволоку диаметром 1-3 мм. Можно использовать проволоку в разноцветной пластмассовой изоляции или покрытую цветной эмалью (желтой, красной, серой и др.). Для работы с проволокой нужны следующие инструменты: молоток, киянка, плоскогубцы, круглогубцы, кусачки, штангенциркуль, линейка, тиски, паяльник
Правят проволоку с приемов, изученных вами в 5 классе: тонкую проволоку — протягивая между двумя деревянными брусками или между вбитыми в дощечку по одной линии гвоздями, а толстую - киянкой на металлической плите. Режут тонкую алюминиевую, медную и стальную проволоку кусачками. Толстую или твердую проволоку разрубают зубилом.
Сгибают проволоку плоскогубцами или с киянки в тисках. Если стальная проволока трудно сгибается, ее подвергают отжигу (см. с. 80).
Подготовленные куски проволоки соединяют между собой скручиванием или лайкой. Чтобы соединение при скручивании было надежным, делают несколько витков (как показано на рис 84).
Готовое изделие, выполненное из стальной проволоки, окрашивают в нужный цвет. Изделия из медной и алюминиевой проволоки обычно не окрашивают. Иногда для большей устойчивости ажурную структуру крепят к основанию (рис. 85), изготовленному из различных материалов (древесины, металла, пластмассы).
Практическая работа
Изготовление художественного изделия из проволоки
1. Пофантазируйте и изобразите в рабочей тетради эскиз ажурной скульптуры из проволоки. Подумайте о практическом применении изделия.
2 Подготовьте инструменты для работы с проволокой. Подсчитайте, сколько проволоки вам понадобится для изготовления изделия.
3. С правки, гибки и резки выполните элементы задуманной скульптуры, соблюдая правила безопасности при работе с проволокой. Соедините элементы между собой.
4. Готовое изделие окрасьте или покройте лаком, если это необходимо.
1)x=1 y=1
2)x=3 y=11
3)x=5 y=21
4)x=7 y=31