11sin^2 a + 9cos^2 a + 8sin^4 a + 2cos^4 a = = 9sin^2 a + 9cos^2 a + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2(sin^4 a + 2cos^4 a) = (*) Заметим, что 1) 9sin^2 a + 9cos^2 a = 9(sin^2 a + cos^2 a) = 9 2) sin^4 a + cos^4 a = sin^4 a + 2sin^2 a*cos^2 a + cos^4 a - 2sin^2 a*cos^2 a = = (sin^2 a + cos^2 a)^2 - 2sin^2 a*cos^2 a = 1 - 1/2*(4sin^2 a*cos^2 a) Подставляем (*) = 9 + 2sin^2 a + 6sin^4 a + 2 - 4sin^2 a*cos^2 a = = 11 + 4sin^2 a - 2sin^2 a + 6sin^4 a - 4sin^2 a*cos^2 a = = 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^2 a*(1 - cos^2 a) = = 11 - 2sin^2 a + 6sin^4 a + 4sin^4 a = 11 - 2sin^2 a + 10sin^4 a = = 10(sin^4 a - 2*1/10*sin^2 a + 1/100) - 1/10 + 11 = = 10(sin^2 a - 1/10)^2 + 109/10 Минимальное значение квадрата равно 0, а всего выражения 109/10.
1) Укажите первообразную для функции f(x)=3 cos 3x+1/2 sin x/2, график которой проходит через точку А(π/2; -2/3) Общий вид первообразных для данной функции: F(x) = Sin3x-Cosx/2 + C A(π/2; -2/3) подставим эти координаты, чтобы найти С -2/3 = Sin(3*π/2) - Cosπ/4 + C -2/3 = -1 -√2/2 + С С = -2/3 +1 +√2/2 = 1/3 + √2/2 ответ:F(x) = Sin3x-Cosx/2 + 1/3 + √2/2 2) Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями y=5-x^2, y=3-x. Решение: Ищем пределы интегрирования: 5 - х² = 3 - х х² -х -2 = 0 по т. Виета корни 2 и -1 S₁ = ₋₁²∫(5 - x²)dx = (5x -x³/3)| в пределах от -1 до 2 = 10 -8/3 - (-5 +1/3)= =10 -8/3 +5 -1/3 = 12 S₂ = ₋₁²∫(3 -x) dx = (3x -x²/2)| в пределах от -1 до 2= =6 - 2 - (-3 -1/2) = 4 +3 +1/2 = 7,5 S фиг. = 12 - 7,5 = 4,5
ОДЗ:
0,3 < 1, знак меняется
Пересекаем с ОДЗ: