Question

Система уравнений
xy-x/y=16/3
xy-y/x=9/2​

Answer 1

Для начала рассмотрим первое уравнение:

xy - x/y = 16/3.

Мы видим здесь два неизвестных - x и y. Чтобы решить это уравнение, мы можем преобразовать его для получения одной переменной.

Давайте умножим обе части уравнения на y (чтобы избавиться от дроби в левой части):

xy * y - x/y * y = (16/3) * y.

Теперь мы получаем:

x * y^2 - x = (16/3) * y.

Далее, давайте вынесем x за скобки:

x * (y^2 - 1) = (16/3) * y.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x:

x = (16/3) * y / (y^2 - 1). (1)

Теперь перейдем ко второму уравнению:

xy - y/x = 9/2.

Повторим преобразования, чтобы избавиться от дробных значений и получить одну переменную:

xy * x - y/x * x = (9/2) * x.

x^2y - y = (9/2) * x.

x^2y - (9/2) * x - y = 0. (2)

Приравниваем выражения для x из уравнений (1) и (2):

(16/3) * y / (y^2 - 1) = (9/2) * x.

Умножим оба выражения на (y^2 - 1):

(16/3) * y = (9/2) * x * (y^2 - 1).

Далее, упростим это выражение:

(16/3) * y = (9/2) * x * (y^2 - 1).

(16/3) * y = (9/2) * x * y^2 - (9/2) * x.

Теперь выразим x через y:

(9/2) * x = (9/2) * x * y^2 - (16/3) * y.

Перенесем все члены, содержащие x налево:

(9/2) * x - (9/2) * x * y^2 = -(16/3) * y.

Факторизуем x:

(9/2) * x * (1 - y^2) = -(16/3) * y.

Теперь выразим x относительно y:

x = -(16/3) * y / (9/2) * (1 - y^2).

x = -8/27 * y / (1 - y^2). (3)

Таким образом, мы получили систему уравнений для x и y:

x = -8/27 * y / (1 - y^2), (3)
x = (16/3) * y / (y^2 - 1). (1)

Проверим ее корректность, подставив значения x и y обратно в изначальные уравнения:

xy - x/y = 16/3.

xy - y/x = 9/2.

Произведем проверку первого уравнения, подставив значения из (3) и (1):

[(-8/27) * y / (1 - y^2)] * y - [(-8/27) * y / (1 - y^2)] / y = 16/3.

Упростим и приведем выражение к общему знаменателю:

(-8/27) * y^2 / (1 - y^2) - (-8/27) / (1 - y^2) = 16/3.

Умножим уравнение на знаменатель (1 - y^2):

(-8/27) * y^2 - (-8/27) = (16/3) * (1 - y^2).

Далее, упростим еще больше:

-8y^2 + 8 = (16/3) - (16/3)y^2.

-8y^2 + 8 = (16/3) - (16/3)y^2.

Умножим всё уравнение на 3:

-24y^2 + 24 = 16 - 16y^2.

8y^2 = 8.

y^2 = 1.

y = ±1.

Теперь найдем значение x, подставив y в одно из уравнений вида (1) или (3). Давайте возьмем (3):

x = -8/27 * ±1 / (1 - (±1)^2).

Тут знак ± влияет на знаки итоговых значений x.

Подставим каждое значение y:

x1 = -8/27 * 1 / (1 - 1) = не существует (деление на 0).

x2 = -8/27 * (-1) / (1 - (-1)^2) = -8/27 * (-1) / (1 - 1) = -8/27 * (-1) / 0 = не существует (деление на 0).

Таким образом, система уравнений не имеет действительных решений.

Мы получили, что решений для системы уравнений xy - x/y = 16/3 и xy - y/x = 9/2 не существует.