Во-первых, при а = -1, оно неверно, потому что получается 0 - 0 > 0.
Значит, имеет смысл рассматривать а ≠ -1.
1. Если а < - 1, то при сокращении (а+1) знак неравенства меняется.
x^2 - 4(3a+1) < 0
x^2 < 4(3a+1)
При любом а < - 1/3 выражение справа будет отрицательно, и неравенство неверно ни при каком х.
При любом а > - 1/3 можно подобрать такое х, что выражение будет ложно.
2. Если а > - 1, то знак неравенства остаётся.
x^2 - 4(3a+1) > 0
x^2 > 4(3a+1)
При 3а+1 < 0 будет х^2 больше отрицательного числа, это верно при любом х.
ответ: a ∈ (-1; - 1/3)
Производная функции:
f'(x) = (2x · (3 - x) - (-1) · x²)/(3 - x)²
f'(x) = (6x - 2x² + x²)/(3 - x)²
f'(x) = (6x - x²)/(3 - x)²
f'(x) = x(6 - x)/(3 - x)²
Приравняем производную нулю с условием, что х≠3
Получим: х = 0 и х = 6
Поскольку функция у = 6x - x² квадратичная, то её график - парабола веточками вниз пересекает ось х в точках х1 = 0; и х2 = 6
В точке х1 = 0 производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума, а в точке х2 = 6 производная меняет знак с + на -. Следовательно, это точка максимума.
Найдём локальные минимум и максимум функции f(x) = x²/(3 - x)
При х1 = 0 f(x) min = 0
При х2 = 6 f(x) max = 12