Question

Сколько действительных корней имеет уравнение logx(3x^2-2)=4

Answer 1

$log_{x}(3x^2-2)=4$

Для начала найдем ОДЗ:

$\left \{ {{3x^2-20} \atop {x0}} \right.$

Первое уравнение решим отдельно.

3x^2 -2>0

3x^2 -2=0

x^2=2/3

$x_1=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$x_2=-\sqrt{\frac{2}{3}}$

Чертим координатную прямую, отмечаем точки, расставляем знаки. Рисунок добавлю во влажения.

Решением этого уравнения будет промежуток $(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$

А решением системы будет являться $(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$

Теперь начнем решение. Представим 4 в виде логорифма по основанию x.

$log_x(3x^2-2)=log_x(x^4)$

Так как основания равны, то знак логорифма можно  опустить.

3x^2 -2 =x^4

x^4 - 3x^2 +2 =0

Это биквадратное уравнение. Введем обозначения

x^2 = a, $a\geq0$

a^2 -3a+2=0

По теореме Виета a1=2, a2=1

Теперь найдем х:

x^2= 2                               x^2=1

$x_1=\sqrt{2}$        x=±1

$x_2=-\sqrt{2}$

Выберем корни, входящие в ОДЗ. Таковыми являются $\sqrt{2}$ и 1.

ответ: $\sqrt{2}$ и 1

Answer 2

logx(3x^2-2)=4

3x^2-2=x^4

-x^4+3x^2-2=0 (-1)

x^4-3x^2+2=0

пусть x^2=t

t^2-3t+2=0
D = ( 9 / 4 ) - ( 1 * 2 ) = 1.
D>0
1) t1 = ( 3 )+v(1) / 2 = 2
2) t2 = ( 3 )-v(1) 2 = 1

замена  x^2=2              x^2=1

             x=корен2        x=1