Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда 1) an am = an+m
2) anam=an−m
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5) (ab)n=anbn
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
8) an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m В практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0, a≠1Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел. Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел. Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, a≠1, не имеет корней, если b≤0, и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1. Это следует из свойств степени (8) и (9)
Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх. Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси Oх (но не пересекает её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0. Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.График функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика. Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Показательные уравненияРассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, a≠1, х — неизвестное. Это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, a≠1 равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.Решить уравнение 23x • 3x = 576 Так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2. ответ х = 2Решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25 Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25, откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2 ответ х = 2Решить уравнение 3х = 7х Так как 7x≠0 , то уравнение можно записать в виде 3x7x=1, откуда (37)x=1, х = 0 ответ х = 0Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0 Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5. Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. ответ х = 2Решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5х + 2х - 2 Запишем уравнение в виде 3 • 2х + 1 - 2x - 2 = 5х - 2 • 5х - 2, откуда 2х - 2 (3 • 23 - 1) = 5х - 2( 5 2 - 2 ) 2х - 2 • 23 = 5х - 2• 23 (25)x−2=1 x - 2 = 0 ответ х = 2Решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3| Так как 3 > 0, 3≠1, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3| Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2 = (х + 3)2, откуда х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1 Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения. ответ х = -1
1) скорее всего все три сына вложились поровну. То есть 111:3=37 рублей.
Сумма любого из двух равна 37*2=74 рубля. Половина этой суммы - снова 37 рублей. Деньги третьего вложившегося - тоже 37 рублей - не превосходят 37 рублей, полученных выше))).
2) Пусть каждая лошадь есть х кг в день. Тогда 3 лошади едят 3х кг в день. За 30 дней они съедят 3х*30=90х кг.
По условию задачи три лошади за 30 дней съедают 450 кг сена.
90х=450 х=450:90 х=45:9 х=5 кг сена в день ест каждая лошадь.
Теперь 5 лошадей в день едят 5*5=25 кг сена. А за 60 дней съедают 25*60=1500 кг сена.
ответ: 1500 кг сена нужно запасти для 5 лошадей на 60 дней.
