Question

Решить неравенства 1)x ≥ (25/1-x) -9 2)5-x≥ 6/x

Answer 1

1)x ≥ (25/1-x) -9

ОДЗ: х≠1

а) 1 - х > 0     х < 1

х(1 - х) ≥ 25 - 9(1 - х)

х - х² - 25 + 9 - 9х ≥ 0

- х² - 8х - 16 ≥ 0

х² + 8х + 16 ≤ 0

(х + 4)² ≤ 0

неравенство (х + 4)² ≤ 0 не имеет решений

б) 1 - х < 0     х > 1

х(1 - х) ≤ 25 - 9(1 - х)

х - х² - 25 + 9 - 9х ≤ 0

- х² - 8х - 16 ≤ 0

х² + 8х + 16 ≤ 0

(х + 4)² ≥ 0

неравенство (х + 4)² ≥ 0 справедливо при любых х, т.е имеет решение х ∈(-∞; +∞)

Сопоставим х ∈(-∞; +∞) и х > 1 и ОДЗ: х≠1, получим

ответ: х∈(1; +∞)

2)5-x≥ 6/x

ОДЗ: х≠0

а) х > 0

х(5 - х) ≥ 6

5х - х² -6 ≥ 0

х² - 5х + 6 ≤ 0

Найдём нули функции у = х² - 5х + 6

х² - 5х + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

х₁ = (5 - 1):2 = 2

х₂ = (5 + 1):2 = 3

поскольку график функции у = х² - 5х + 6 - квадратная парабола веточками вверх, то неравенство х² - 5х + 6 ≤ 0 имеет решение х∈[2; 3].

Сопоставим интервалы х > 0, х∈[2; 3] и ОДЗ: х≠0.

Их пересечением является интервал х∈[2; 3] - это и будет ответ.

б) х < 0

х(5 - х) ≤ 6

5х - х² -6 ≤ 0

х² - 5х + 6 ≥ 0

решение уравнения х² - 5х + 6 = 0 мы уже проводили, его корни

х₁ = 2 и х₂ = 3

поскольку график функции у = х² - 5х + 6 - квадратная парабола веточками вверх, то неравенство х² - 5х + 6 ≥ 0 имеет решение х∈(-∞; 2]U[3; +∞)

Сопоставим интервалы х < 0, х∈(-∞; 2]U[3; +∞) и ОДЗ: х≠0?,

их пересечением является интервал х∈(-∞; 0)

Теперь объединим решения а) и б)

ответ: х∈(-∞; 0)U[2; 3]