Курсив можно не читать.
Аналитических методов решения нет. Такие уравнения можно решить только численно.
По основной теореме алгебры у многочлена 5 степени ровно 5 корней, впрочем, среди них могут быть совпадающие (как например, в уравнении (x-1)^5=0; у этого уравнения 5 корней х=1;:. Поскольку доказательство этой теоремы - далеко за пределами школьной программы, просто примите на веру. В данном случае у уравнения 5 степени с вещественными коэффициентами есть 1 вещественный корень и 2 ПАРЫ комплексно сопряженных кореней (то есть вещественная часть у них одинаковая, а мнимая различается знаком).
Вот численное решение уравнения x^5 +2*x - 1 = 0; - все 5 корней.
0,486389035934543;
-0,945068086823133-0,854517514439046*i;
-0,945068086823133+0,854517514439046*i;
0,701873568855862-0,879697197929824*i;
0,701873568855862+0,879697197929824*i;
Даже если вы не знакомы с комплексными числами, вещественный корень можно проверить на обычном калькуляторе :)), а Excel даст чистый 0 - точность этого решения выше встроенной точности электронной таблицы. Если вы знакомы с комплексными числами, в Excel легко можно проверить все корни.
Дальше можно совсем не читать.
Eсли записать для краткости это так
x1;
x2 = a+b*i;
x3 = a-b*i;
x4 = c+d*i;
x5 = c-d*i;
Здесь обозначено
a=-0,945068086823133;
b=-0,854517514439046;
c=0,701873568855862;
d=0,879697197929824;
то исходный многочлен может быть разложен следующим образом
x^5+2*x-1 = (x-x1)*(x^2-2*a*x+a^2+b^2)*(x^2-2*c*x+c^2+d^2);
равенство 0 означает, что уравнение распадается на 3 независимых, так получаются 5 корней. При этом квадратные трехчлены не имеют вещественных корней - очевидно (это суммы двух квадратов, то есть положительные величины при любом вещественном х, если b и d не равны нулю, а они не равны 0). Можете проверить численно справедливость такого разложения, подставив значения корней : - это не требует знания комплексных чисел. То есть надо подставить числа, перемножить все выражения в скобках, привести подобные и показать, что с высокой точностью получается исходный многочлен 5 порядка. (Это не так трудно сделать в Excel, как кажется - маленькая табличка, 5 строк и 3-5 столбцов.) Всего есть 6 коэффициентов в многочлене 5 степени, причем коэффициент при x^5 очевидно равен 1, а свободный член равен (конечно, с минусом)
x1*(a^2+b^2)*(c^2+d^2) = 0,486389035934543*1,62335387121462*1,26649366670405 = 1 опять с точностью выше возможностей Excel (то есть таблица уверенно покажет целое число). Остается проделать полное перемножение многочленов в форме буквенной записи и так же проверить остальные коэффициенты. Они будут равны 0; 0; 0; 2; с очень высокой точностью.
Объяснение:
1) Так как выражение x²-2*x-8 определено при любом значении x, то областью определения функции является вся числовая прямая. Таким образом, D[y]=(-∞;∞).
2) Так как x²-2*x-8=(x-1)²-9, то очевидно, что функция имеет наименьшее значение y=-9 при x=1, а наибольшего значения функция не имеет. Поэтому областью значений функции является интервал [-9;∞), т.е. E[y]=[-9;∞).
3) Решая уравнение x²-2*x-8=(x-4)*(x+2)=0, находим нули функции x1=4 и x2=-2.
4) Решая неравенство x²-2*x-8=(x-4)*(x+2)>0, находим x∈(-∞;-2)∪(4:∞).
5) Решая неравенство x²-2*x-8=(x-4)*(x+2)<0, находим x∈(-2;4).
6) Находим производную: y'=2*x-2 и приравниваем её к нулю. Получаем уравнение x-1=0, откуда x=1 - единственная критическая точка. Если x<1, то y'<0, поэтому на интервале (-∞;1) функция убывает. Если x>1, то y'>0, поэтому на интервале (1;∞) функция возрастает. И так как при переходе через точку x=1 производная меняет знак с "-" на "+", то эта точка является точкой минимума функции. Само же минимальное значение ymin=y(1)=1²-2*1-8=-9, что уже было установлено в 2).
f(0)=2
Объяснение:
f(0)=0^3-0+2
f(0)=0+2
f(0)=2