Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Для того чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нужно знать ее высоту и площадь основания.

Step 1: Найдите площадь основания пирамиды.

Поскольку основание пирамиды - правильный треугольник, его площадь можно найти с помощью формулы:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2.

Но нам неизвестно ни основание, ни высоту треугольника, поэтому мы воспользуемся тригонометрией для нахождения этих значений.

Step 2: Найдите длину стороны основания треугольника.

Поскольку боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°, мы можем использовать тригонометрию для нахождения значения стороны Основания.

Вспомним, что в правильном треугольнике все стороны равны. Пусть сторона основания обозначается через а.

Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения значения а:

a² = 6² + 6² - 2 * 6 * 6 * cos(30°)

a² = 72

a = √72

Step 3: Найдите площадь основания пирамиды.

Теперь, когда у нас есть длина стороны основания, мы можем найти его площадь:

Площадь треугольника = (a * a * sin(60°)) / 2

Поскольку sin(60°) = √3/2,

Площадь треугольника = (√72 * √72 * √3/2) / 2

Площадь треугольника = (72 * √3) / 2

Площадь треугольника = 36√3

Step 4: Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды = (площадь основания * высота) / 3

Объем пирамиды = (36√3 * 6) / 3

Объем пирамиды = 72√3.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 72√3.