Найдите абсциссу точки графика функции f(x)=x^2+4xкорня из 3 в которой проведенная к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 60 градусов Если можно,то распишите решение по подробнее, так сказать для тупых )
Чтобы найти абсциссу точки графика функции, в которой проведена касательная, образующая угол 60 градусов с положительным направлением оси абсцисс, нам понадобится найти производную функции в этой точке.
Итак, у нас есть функция f(x) = x^2 + 4x√3. Первым шагом найдем производную функции f'(x). Для этого применим правило дифференцирования степенной функции:
f'(x) = 2x + 4√3.
Теперь мы можем использовать найденную производную, чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке (x, f(x)). Обозначим угол между этой касательной и положительным направлением оси абсцисс через α.
Уравнение касательной имеет вид:
y = f(x) + f'(x)(x - x₀),
где (x₀, f(x₀)) - точка на графике функции, к которой проведена касательная. В нашем случае f(x₀) = x₀^2 + 4x₀√3.
Также известно, что угол α равен 60 градусам. Это значит, что тангенс этого угла будет √3. Таким образом, можно записать уравнение:
tan(α) = f'(x₀).
Подставим найденное f'(x) и решим уравнение:
√3 = 2x₀ + 4√3.
Решение данного уравнения будет x₀ = -√3.
Теперь мы знаем значение x₀, абсциссу точки на графике функции, в которой проведена касательная. Для того чтобы найти саму точку (x₀, f(x₀)), подставим найденное значение x₀ обратно в исходную функцию f(x):
f(-√3) = (-√3)^2 + 4(-√3)√3 = 3 - 12 = -9.
Итак, получили точку на графике функции: (-√3, -9).
Итак, у нас есть функция f(x) = x^2 + 4x√3. Первым шагом найдем производную функции f'(x). Для этого применим правило дифференцирования степенной функции:
f'(x) = 2x + 4√3.
Теперь мы можем использовать найденную производную, чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке (x, f(x)). Обозначим угол между этой касательной и положительным направлением оси абсцисс через α.
Уравнение касательной имеет вид:
y = f(x) + f'(x)(x - x₀),
где (x₀, f(x₀)) - точка на графике функции, к которой проведена касательная. В нашем случае f(x₀) = x₀^2 + 4x₀√3.
Также известно, что угол α равен 60 градусам. Это значит, что тангенс этого угла будет √3. Таким образом, можно записать уравнение:
tan(α) = f'(x₀).
Подставим найденное f'(x) и решим уравнение:
√3 = 2x₀ + 4√3.
Решение данного уравнения будет x₀ = -√3.
Теперь мы знаем значение x₀, абсциссу точки на графике функции, в которой проведена касательная. Для того чтобы найти саму точку (x₀, f(x₀)), подставим найденное значение x₀ обратно в исходную функцию f(x):
f(-√3) = (-√3)^2 + 4(-√3)√3 = 3 - 12 = -9.
Итак, получили точку на графике функции: (-√3, -9).