Question

очень нужно
Найти сумму ряда

Answer 1

$S_1(x)=\sum (-1)^nx^{2n}=-x^2+x^4-x^6+\ldots$ - это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=-x^2,$ поэтому ее сумма равна $S_1(x)=-\frac{x^2}{1+x^2};\ |x|$

$S_2(x)=\sum\frac{x^{2n}}{n};\ S_2'(x)=2\sum x^{2n}=\frac{2x^2}{1-x^{2}}=-\frac{2(x^2-1)+2}{x^2-1}=-2-\frac{2}{x^2-1};$

$S_2(x)=-2x-\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C=-2x-\ln\frac{1-x}{1+x}+C.$

Чтобы найти С, подставим  x=0:

0=0+0+C⇒C=0;

$S_2(x)=-2x-\ln\frac{1-x}{1+x};$

$S(x)=S_1(x)+S_2(x)=-\frac{x^2}{1+x^2}-2x-\ln\frac{1-x}{1+x}=-1-2x+\frac{1}{1+x^2}-\ln\frac{1-x}{1+x}; |x|$