Question

Докажите , что при любом натуральном

Answer 1

n³ + 3n² + 2n = n(n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

разложим n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)

D = 9 - 8 = 1

n12 = (-3 +- 1)/2 = -1   -2

из трех подряд натуральных чисел одно обязательно делится на 3 и одно четно

значит произведение кратно 2*3 = 6

Answer 2

Доказательство

 Идея: Разложить многочлен на множители, а затем их проанализировать.

 Вынесем общий множитель

$n^3+3n^2+2=n(n^2+3n+2)$

 Для разложения квадратного трехчлена решим эквивалентное квадратное уравнение

$n^2+3n+2=0\\\\D=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1\\\\n_1=\frac{-3+\sqrt{1}}{2\cdot1}=-\frac{2}{2}=-1\\\\n_2=\frac{-3-\sqrt{1}}{2\cdot1}=-\frac{4}{2}=-2$

 Тогда

$n^2+3n+2=1\cdot(n-(-1))\cdot(n-(-2))=(n+1)(n+2)$

 Таким образом

$n^3+3n^2+2=n\cdot(n+1)\cdot(n+2)$

 Получили произведение трёх чисел, идущих подряд одно за другим. Среди таких чисел обязательно найдётся чётное число, а также число, кратное 3. Т.е. в разложении выражения на множители присутствует и 2, и 3. Следовательно значение выражения кратно и их произведению, т.е. 6.

Ч.т.д.