Question

1. решите систему уравнений методом замены переменной: х/у + 2у/х = 3, 5х - у=6. 2. решите систему уравнений х² - 2ху+ у² = 49, х-3у=1.

Answer 1

$\left \{ {{\frac{x}{y}+2\frac{y}{x}=3} \atop {5x-y=6}} \right.$
Заменяем:
$\frac{x}{y}=z = \frac{y}{x}=\frac{1}{z}\\ z+\frac{2}{z}=3\\ \frac{z^2+2}{z}=3\\ z^2+2=3z\\ z^2-3z+2=3z\\ D=9-8=1\\ z_1=\frac{3+1}{2}=2\\ z_2=\frac{3-1}{2}=1\\$
Получим два уравнения:
$\frac{x}{y}=2\ \ \ \ \ \ \frac{x}{y}=1\\ x_1=2y\ \ \ \ \ \ x_2=y\\$
Подставим значения х во второе уравнение первоначальной системы:
$5x-y=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x-y=6\\ 5*2y-y=6 \ \ \ \ \ \ 5y-y=6\\ 9y=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4y=6\\ y_1=\frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2=\frac{3}{2}\\ x_1=2y_1=\frac{4}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=y_2=\frac{3}{2}$
ответ - две пары решений: $(\frac{4}{3}; \frac{2}{3}), (\frac{3}{2}; \frac{3}{2})$

2.
$\left \{ {{x^2 -2xy+y^2=49} \atop {x-3y=1}} \right.$
Преобразуем первое уравнение (выделим полный квадрат):
$x^2 -2xy+y^2=49\\ (x-y)^2=49$
Получим два уравнения:
$x-y=7\ \ \ \ \ \ \ \ x-y=-7$
и следовательно, две системы:
$\left \{ {{x-y=7} \atop {x-3y=1}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{x-y=-7} \atop {x-3y=1}} \right.$
В каждой системе вычтем второе уравнение из первого:
$\left \{ {{x-y=7} \atop {x-3y=1}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{x-y=-7} \atop {x-3y=1}} \right. \\ 2y=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2y=-8\\ y_1=3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2=-4\\ x_1=7+y_1=10 \ \ \ \ \ \ \ x_2=-7+y_2=-11\\$
ответ: $(10;3), (-11;-4)$                                                                                                    .