Question

Известно, что сумма кубов действительных корней квадратного уравнения x² - px – 9q = 0равна 2008. найдите все возможные натуральные значения p иq.

Answer 1

${x_1}^3+{x_2}^3=2008;$
$x^2-px-9q=0;{x_1}+{x_2}=p;{x_1}*{x_2}=-9q;$
$({x_1}+{x_2})^3={x_1}^3+3{x_1}^2{x_2}+3{x_1}{x_2}^2+{x_2}^3;$
$({x_1}+{x_2})^3={x_1}^3+{x_2}^3+3{x_1}{x_2}({x_1}+{x_2});$
$p^3=2008+3*(-9q)*p;$
$p^3=2008-27pq;$
$q= \frac{2008-p^3}{27p};$
Т к p и q принимают натуральные значения, то подходит условие 
при $0$ 
условия: при $p$ и  при $p \sqrt[3]{2008};q$  не подходят 
подходит одна пара чисел: p=4, q=18.