task/29588553 Пользуясь формулой Муавра и Бином Ньютона , выразить через степени sinφ и cosφ следующие функции кратных углов :
1) sin 4φ ; 2) cos 5φ.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * z₁ =a₁ + i *b₁ ; z₂ =a₂ +i*b₂ . Если z₁ = z₂ , то a₁ = a₂ и b₁ = b₂ * * *
Формула Муавра: zⁿ = ( r(cosφ +i sinφ) )ⁿ = rⁿ*[cos(nφ) + i*sin(nφ)].
1 ) (cosφ +i sinφ)⁴ = cos4φ + i * sin4φ ( а₁ ) * * * r =1 * * *
С другой стороны по формуле бинома Ньютона :
(cosφ +i sinφ)⁴=cos⁴φ+4cos³φ*(isinφ)+6cos²φ*(isinφ)²+4cosφ*(isinφ)³+(i sinφ)⁴
= cos⁴φ - 6cos²φ*sin²φ +sin⁴φ + i*( 4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ) . ( б₁ )
Сравнивая (а₁) и (б₁) получаем :
sin4φ =4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ || = 4sinφcosφ* (cos²φ - sin²φ) =
2sin2φ *cos2φ =sin4φ ||
2) (cosφ +i sinφ)⁵ = cos5φ + i*sin5φ ( а₂ )
(cosφ +i sinφ)⁵ =cos⁵φ +5cos⁴φ*(isinφ)+10cos³φ*(isinφ)²+10cos²φ*(isinφ)³ +
+ 5cosφ*(isinφ)⁴+ (i sinφ)⁵ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ +
+i*(5cos⁴φ*isinφ - 10cos²φ*sin³φ + sin⁵ φ ). ( б₂ )
Сравнивая (а₂) и (б₂) получаем :
cos5φ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ .
5x^2+3x-2 / 10x^2+x-2
Решим каждое выражение по формуле дискриминанта:
5x^2+3x-2=0
D= 9+40=49
корень из D=7
x1= -3-7/10= -1
x2= -3+7/10= 0,4
Используя это, выражение можно представить так: (впереди всегда ставится первый коэфицент, в данном случае 5, а остальное раскладываем на скобки ... затем пять умножаем на вторую скобку, чтобы избавиться от дроби 0,4)
5x^2+3x-2= 5(x+1)(x-0,4)= (x+1)(5x-2)
Тоже самое делаем со вторым выражением:
10x^2+x-2=0
D=1+80=81
корень из D=9
x1= -1-9/20= -0,5
x2= -1+9/20= 0,4
Тут все так же. Впереди 10, но мы раскладываем десятку на 2 и 5, и умножаем на "удобные" скобки, чтобы избавиться от дробей.
10x^2+x-2= 10(x+0,5)(х-0,4)= (2х+1)(5х-2)
Заменяем данные выражения - получившимися:
(х+1)(5х-2) / (2х+1)(5х-2)= х+1 / 2х+1
При делении скобка (5х-2) сократится.
Окончательный ответ дробь х+1 / 2х+1
Это все :) Объяснила, как смогла, удачи))
Если что, во вложениях формулы для решения дискриминанта!