Question

Решите систему уравнений

9x^2-xy=5; y^2-5xy=-5

Answer 1

$\begin{cases} 9x^2-xy=5\\y^2-5xy=-5\end{cases}$

Сложим уравнения:

$9x^2-xy+y^2-5xy=5-5$

$9x^2-6xy+y^2=0$

В левой части воспользуемся формулой квадрата разности:

$(3x-y)^2=0$

$3x-y=0$

Выражаем у:

$y=3x$

Подставим это соотношение, например, в первое уравнение системы:

$9x^2-x\cdot3x=5$

$9x^2-3x^2=5$

$6x^2=5$

$x^2=\dfrac{5}{6}$

$\left[\begin{array}{l} x_1=\sqrt{\dfrac{5}{6} }=\dfrac{\sqrt{5} }{\sqrt{6} } =\dfrac{\sqrt{5} \cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} } =\dfrac{\sqrt{30} }{6}\\ x_2=-\dfrac{\sqrt{30} }{6} \end{array}$

Найдем соответствующие значения у:

$y_1=3\cdot\dfrac{\sqrt{30} }{6} =\dfrac{\sqrt{30} }{2}$

$y_2=3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{30} }{6}\right) =-\dfrac{\sqrt{30} }{2}$

ответ: $\left(\dfrac{\sqrt{30} }{6};\ \dfrac{\sqrt{30} }{2} \right);\ \left(-\dfrac{\sqrt{30} }{6};\ -\dfrac{\sqrt{30} }{2} \right)$