Question

Как получить корень 7 степени используя только кубические и квадратные корни (любой !)?

Answer 1

Никак (но если очень хочется...)

Разные манипуляции с корнями 2 и 3 степени - ничто иное, как игра с показателями степеней при x 1/2 и 1/3 для квадратного и кубического корней соответственно. А мы хотим получить показатель 1/7.

Чтоб было понятней, попробуй получить с дробей 1/2 и 1/3, используя сложение и вычитание дробь 1/7 или вообще любую нецелую и ненулевую дробь со знаменателем, делящимся на семь.

Спойлер: у тебя ничего не выйдет, потому что все действия над этими дробями могут привести только к дроби вида A / (2^b * 3^c), где b и c - неотрицательные целые числа. Короче говоря, знаменатель может делиться на 2 или на 3, но никогда - на 7 (за исключением тривиальных 0/7, 7/7, 14/7 итд)

Но, как известно, если нельзя, но очень хочется, то немножко можно. Задача решается разложением функции x^(1/7) в ряд. Слыхал про биномиальные коэффициенты, которые появляются, если мы хотим разложить на множители что-то типа (a - b)^n ? Так вот, нам надо разложить что-то типа (a-0) ^ 1/7.

Так тоже можно, но надо определить дробные биномиальные коэффициенты. Делается это, например, через обобщение факториала до Гамма-функции для дробных чисел (она реализуется через интеграл и корней там нет, честно-честно). По итогу формула получается примерно такая:

$\sqrt[7]{x} = \sum_i^\infty binomial(\frac{1}{7} , i) \cdot (x-1)^i$