Question

сумма чисел x y z равно 25.Числа x 2y z являются частью арифметической прогрессии, числа x y+1 z евлются частью геометрической прогрессии, найдите числа ответьте быстрее

Answer 1

$x+y+z=25 \qquad (1)$

$x+z=25-y$

Используем два факта:

1) Если три последовательных числа являются членом арифметической прогрессии, то среднее является средним арифметическим:

$2y=\dfrac{1}{2}(x+z) \qquad (2)$

2) То же самое с геометрической прогрессией — там средним геометрическим:

$(y+1)^2=xz \qquad (3)$

Поработаем со вторым уравнением, используя первое:

$4y=x+z\\4y=25-y\\5y=25\\y=5$

Первое уравнение нам больше не нужно. Упростим уравнения (2) и (3):

$10=\dfrac{1}{2}(x+z)\\x+z=20\\***\\6^2=xz\\xz=36$

Используем обратную теорему Виета, где второй член равен сумме корней, взятой со знаком минус, а третий член — произведению:

$t^2-20t+36=0$

Я сразу по теореме Виета вижу корни: $t_1=18$, $t_2=2$. Можете решить через дискриминант.

В итоге получили, что $(x;z)=(18;2)$ либо $(x;z)=(2;18)$ (ещё из условия было видно, что обе прогрессии симметричны относительно убывания/возрастания).

ответ: 18, 5, 2 либо 2, 5, 18.