Ну насчет столбиком шутки шутками, а ведь можно делить многочлен на многочлен уголком, только в LaTeX это особо не распишешь. А вот разложить на множители вполне можно.
Сначала займемся числителем:
Здесь часто использовался метод искусственного добавления и вычитания слагаемых для вынесения за скобки общих множителей (в виде скобок). Вот каких - дело опыта, но имея опыт с нахождением корней многочленов высоких степеней, я уже знал, конечно, что в разложении будут присутствовать скобки 
и 
и последнюю скобку не стал раскладывать, тоже кое-что зная. Так что больше опыта нужно и внимательности. Других рекомендаций нет.
Получили 
Теперь знаменатель: по известной формуле 
получаем 
Осталось все это написать вместе и сократить
Сокращать можно только учитывая ограничения
ответ: 
Цифру 4 нужно поставить вместо знака "*", чтобы число 25856*582 делилось на 9.
Объяснение:
Чтобы число делилось на 9, нужно чтобы его сумма цифр тоже делилась на 9.
Сумма цифр числа 25856*582 = 2 + 5 + 8 + 5 + 6 + * + 5 + 8 + 2 = 41, и методом подбора:
41 + 1 = 42 : 9 ≈ 4,6 - нацело не делится - не подходит.
41 + 2 = 43 : 9 ≈ 4,7 - не подходит.
41 + 3 = 44 : 9 ≈ 4,8 - не подходит.
41 + 4 = 45 : 9 = 5 - подходит, но нужно доказать, что только эту цифру можно поставить вместо знака "*".
41 + 5 = 46 : 9 ≈ 5,1 - не подходит.
41 + 6 = 47 : 9 ≈ 5,2 - не подходит.
41 + 7 = 48 : 9 ≈ 5,3 - не подходит.
41 + 8 = 49 : 9 ≈ 5,4 - не подходит.
41 + 9 = 50 : 9 ≈ 5,5 - не подходит.
Проверка:
258564582 : 9 = 28729398. Все правильно!