Question

Алгебра, завдання з параметрами, 11клас

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

В своем ответе я приведу два допустимых решения.

1:

Рассмотрим уравнение $x^2-3.75x+a=0$.

Пусть y - один из его корней.

Тогда по условию $y^2$ - второй корень уравнения.

Итого имеем систему:

$\begin{equation*} \begin{cases} y^2-3.75y+a=0\\y^4-3.75y^2+a=0 \end{cases}\end{equation*};$

Решив ее, получим, что $a=0,\;a=\dfrac{11}{4},\;a=\dfrac{27}{8},\;a=-\dfrac{125}{8}$.

Проверим теперь каждое значение параметра и выберем те, при которых выполняется решение задачи.

(здесь надо решить 4 уравнения при всех найденных значениях параметра; я этого делать не буду, так как эти действия долгие, но очевидные)

Итого получили, что при $a=\dfrac{27}{8}$ и $a=-\dfrac{125}{8}$ один из корней уравнения $x^2-3.75x+a=0$ является квадратом другого.

2:

$x^2-3.75x+a=0\\\\x^2-\dfrac{15}{4}x+a=0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D=\dfrac{225}{16}-4a\\\sqrt{D}=\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}$

Выразим корни уравнения:

$x_1=\dfrac{\dfrac{15}{4}+\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}\\\\x_2=\dfrac{\dfrac{15}{4}-\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}$

По условию один из корней должен являться квадратом другого.

Тогда возможны два случая:

$x_1=x_2^2$      /или/      $x_1^2=x_2$

Но второй не будет иметь корней, так как $x_1^2x_2$.

Запишем единственное уравнение и найдем искомые значения параметра:

$\dfrac{\dfrac{15}{4}+\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\left(\dfrac{\dfrac{15}{4}-\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}\right)^2\\\dfrac{15}{8}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\left(\dfrac{15}{8}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}\right)^2$

Меняем $\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}$ на $t$:

$\dfrac{15}{8}+t=\left(\dfrac{15}{8}-t\right)^2$

Откуда $t=\dfrac{3}{8}$ или $t=\dfrac{35}{8}$.

Обратная замена:

$\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\dfrac{3}{8}$

$a=\dfrac{27}{8}$

Или:

$\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\dfrac{35}{8}$

$a=-\dfrac{125}{8}$

Итого имеем, что при $a=\dfrac{27}{8}$ и $a=-\dfrac{125}{8}$ один из корней уравнения $x^2-3.75x+a=0$ является квадратом другого.

Задание выполнено!

Answer 2

$x^{2}-3,75x+a=0$

По теореме Виета :

$x_{1}\cdot x_{1} ^{2} =a\\\\x_{1}^{3} =a\\\\x_{1}=\sqrt[3]{a}\\\\x_{2}=\sqrt[3]{a^{2} }$

Следовательно :

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^{2}}=3,75\\\\\sqrt[3]{a}=m\\\\m^{2}+m-\dfrac{15}{4}=0\\\\4m^{2} +4m-15=0\\\\D=4^{2}-4\cdot4\cdot(-15)=16+240=256=16^{2} \\\\m_{1}=\dfrac{-4-16}{8} =-2,5\\\\m_{2}=\dfrac{-4+16}{8} =1,5$

$1)\sqrt[3]{a}=-2,5 \\\\a_{1} =(-2,5)^{3} =-15,625\\\\2)\sqrt[3]{a}=1,5\\\\a_{2}=1,5^{3}=3,375\\\\Otvet:\boxed{-15,625 \ ; \ 3,375}$