Question

Решите уравнение: 7cosx + 2sin ^2 x = 5.
!!

Answer 1

Объяснение:

7cosx + 2sin²x = 5

по формуле sin²x=1-cos²x

7cosx + 2(1-cos²x) = 5

7cosx + 2-2cos²x = 5

2cos²x-7cosx+3=0

обозначим cosx=y

2y²-7y+3=0

y₋₂=(7±√(49-24))/4=(7±√25)/4=(7±5)/4={1/2;3}

1) y=3; этот корень не подходит так как IcosxI≤1

2) y=1/2; cosx=1/2 ; x=±arccos(1/2)+2пk=±п/3+2пk

x=±п/3+2пk, k∈Z

Answer 2

$7cos(x)+2sin^2(x)=57cos(x)+2\big(1-cos^2(x)\big)-5=07cos(x)+2-2cos^2(x)-5=0-2\big(cos(x)\big)^2+7cos(x)-3=0$

Сделаем замену cos(x) = t:

$-2t^2+7t-3=0D=b^2-4ac=7^2-4\cdot(-2)\cdot(-3)=49-24=25=5^2t_1=\dfrac{-7-5}{-4}=\dfrac{-12}{-4}=3t_2=\dfrac{-7+5}{-4}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$

Теперь сделаем обратную замену:

$1)\ cos(x)=3$

Так как cos(x) должен принадлежать промежутку [-1; 1], то корней нет.

$2)\ cos(x)=\dfrac{1}{2}$

cos(α) = cos(2π - α) ⇒ cos(x) = 1/2 или cos(2π - x) = 1/2

1) x = arccos(1/2)

*** arccos(1/2) = π/3 ***

x = π/3

x = π/3 + 2πn, n ∈ Z

2) 2π - x = arccos(1/2)

2π - x = π/3

- x = π/3 - 2π

- x = (π - 6π)/3

- x = - 5π/3

- x = - 5π/3 + 2πn, n ∈ Z

x = 5π/3 - 2πn, n ∈ Z

ответ: x = π/3 + 2πn, n ∈ Z

x = 5π/3 - 2πn, n ∈ Z