Question

Найдите все решения системы уравнений:

{3 | x+2 | + | y-4 | = 10
{2x + 2y = 5​

Answer 1

$\displaystyle (\frac{5}{8} ;1\frac{7}{8})$ , $\displaystyle (-4\frac{3}{8} ;6\frac{7}{8})$

Объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{3|x+2|+|y-4|=10} \atop {2x+2y=5}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{3|\frac{5-2y}{2} +2|+|y-4|=10} \atop {x=\frac{5-2y}{2} }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{3|4,5-y|+|y-4|=10} \atop {x=2,5-y }} \right.$

Рассмотрим отдельно 1-ое уравнение системы

$\displaystyle 3|4,5-y|+|y-4|=10$

Для того, чтобы правильно раскрыть модули, нужно найти нули этих самых модулей

$\displaystyle 4,5-y=0y=4,5$

$\displaystyle y-4=0y=4$

Сделаем графическую прямую и поймём на каких промежутках какой будет знак у модуля(см.вложение). Для этого достаточно подставить любое число из промежутка вместо y.

Теперь мы рассмотрим каждый промежуток.

P.s. каждое число должно быть включено в один(!) промежуток, поэтому в одних промежутках знак с равенством, а в других - нет

а) Если y≤4,то

$\displaystyle 3*(4,5-y)+(-y+4)=10$

$\displaystyle 13,5-3y-y+4=10$

$\displaystyle -4y=-7,5$

$\displaystyle y=1\frac{7}{8}$

y входит в наш промежуток, поэтому мы теперь находим х

$\displaystyle x=2,5-1\frac{7}{8} =\frac{5}{2}-\frac{15}{8}=\frac{20-15}{8} =\frac{5}{8}$

б) Если 4<у<4,5

$\displaystyle 3*(4,5-y)+(y-4)=10$

$\displaystyle 13,5-3y+y-4=10$

$\displaystyle -2y=-0,5$

$\displaystyle y=0,25$

y  не входит в данный промежуток, поэтому здесь решений нет

в) Если y≥4,5

$\displaystyle 3*(-4,5+y)+(y-4)=10$

$\displaystyle -13,5+3y+y-4=10$

$\displaystyle 4y=27,5$

$\displaystyle y=6\frac{7}{8}$

y входит в наш промежуток, поэтому мы теперь находим х

$\displaystyle x=2,5-6\frac{7}{8} =\frac{5}{2}-\frac{55}{8}=\frac{20-55}{8} =-\frac{35}{8}=-4\frac{3}{8}$