Question

уравнением (нужно решение)

Answer 1

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = arctg(4) + \pi n$

n принадлежит целым числам

Объяснение:

$2 {sin}^{2} (x) + 1.5sin(2x) - 3 {cos}^{2}( x) = 1$

$2 {sin}^{2} (x) + 1.5 \times 2 \sin(x) \cos(x) - 3 {cos}^{2} (x) = {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)$

${sin}^{2} (x) + 3 \sin(x) \cos(x) - 4 {cos}^{2} (x) = 0 | \div {cos}^{2} (x)$

P.s. cos²(x)≠0 т.к. на ноль делить нельзя

${tg}^{2} (x) + 3tg(x) - 4 = 0$

Пусть tg(x) =y,тогда

${y}^{2} + 3y - 4 = 0$

$d = {3}^{2} - 4 \times ( - 4) = 9 + 16 = 25 = {5}^{2}$

$y_{1} = \frac{ - 3 + 5}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1$

$y_{2} = \frac{ - 3 - 5}{2 \times 1} = - \frac{8}{2} = - 4$

Вернёмся к замене:

Если tg(x) = 1,тогда

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

n принадлежит целым числам

Если tg(x) = 4,тогда

$x = arctg(4) + \pi n$

n принадлежит целым числам

Answer 2

x ∈ {arctg(-4)+πn, π/4+πn}, n — целое

Объяснение:

$2\sin^2x+1.5\sin2x-3\cos^2x=1\\2\sin^2x+3\sin x\cos x-3\cos^2x=1$

cos x = 0 при x = $\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Проверим, является ли этот x корнем. Все углы такого вида на единичной окружности накладываются друг на друга, поэтому примем n = 0:

$2\sin^2\frac{\pi }{2}+1,5\sin\pi -3\cos^2\frac{\pi }{2}=2*1^2+1.5*0^0-3*0^2=2\neq 1$

Теперь можно утверждать, что в заданном уравнении cos x и все его степени ненулевые.

Разделим обе части на $\cos^2x$:

$2\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+3\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}-3\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}\\2\rm tg^2x+3\rm tg \;x-3=\rm tg^2x+1\\\rm tg^2x+3\rm tg \;x-4=0$

Введем замену $\rm tg \; x=t,\; t\in \mathbb {R}$

Имеем:

$t^2+3t-4=0$

По теореме Виета

$\begin{cases} t_1+t_2=-3\\t_1*t_2=-4 \end{cases}\\\begin{cases} t_1=-4\\t_2=1 \end{cases}$

Если t = -4, то

$\rm tg\; x=-4\\x=\rm arctg(-4)+\pi n, \; n\in \mathbb {Z}$

Если t = 1, то

$\rm tg\; x=1\\x= \rm arctg\; 1+\pi n,\; n\in \mathbb {Z}\\x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\; n\in\mathbb {Z}$