Question

14. Найти действительные корни уравнения
x6 - 33x4 + 6x3 + 297x2 – 729= 0.

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$x^6-33x^4+6x^3+297x^2-729=0$

Так как $x=0$ не является корнем уравнения, то поделим его на $x^3$:

$x^3-33x+6+\dfrac{297}{x}-\dfrac{729}{x^3}=0\\\left(x^3-\dfrac{729}{x^3}\right)-33\left(x-\dfrac{9}{x}\right)+6=0\\\left(x-\dfrac{9}{x}\right)\left(\left(x-\dfrac{9}{x}\right)^2+27\right)-33\left(x-\dfrac{9}{x}\right)+6=0$

Выполним замену вида $t=x-\dfrac{9}{x}$.

Тогда получим уравнение:

$t(t^2+27)-33t+6=0\\t^3-6t+6=0$

По формуле Кардано:

$t=-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$

Обратная замена:

$x-\dfrac{9}{x}=-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$

Решая это уравнение, получаем ответ:

$\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}-\sqrt{\sqrt[3]{4}+40+2\sqrt[3]{2}}}{2}\\x=\dfrac{-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}+\sqrt{\sqrt[3]{4}+40+2\sqrt[3]{2}}}{2}\end{array}\right;$

Уравнение решено!