Question

Предлагается любителям сложных заданий:))

Answer 1

Пусть $a+b=c+d=2\xi;\ a=\xi-t;\ b=\xi+t;\ c=\xi-p;\ d=\xi+p.$

Пусть $\{a;\ b\}\not=\{c;\ d\},$ тогда t≠±p; не уменьшая общности, можно считать, что $tp\ge 0.$ Пусть n=2k+1. Используя бином Ньютона, можем написать

$(a^n+b^n)-(c^n+d^n)=((\xi -t)^n+(\xi+t)^n)-((\xi-p)^n+(\xi+p)^n)=$

$=2(\xi^n+C_n^2\xi^{n-2}t^2+\ldots+C_n^{n-1}\xi t^{n-1})-2(\xi^n+C_n^2\xi^{n-2}p^2+\ldots C_n^{n-1}\xi p^{n-1})=$

$=2\xi(C_n^2\xi^{n-3}(t^2-p^2)+\ldots +C_n^{n-1}(t^{n-1}-p^{n-1})).$

Это выражение может равняться нулю только если $\xi=0,$ а это и означает, что a=-b; c=-d. Утверждение доказано.

Answer 2

если 2 множества не равны, то в 1 множестве есть элемент который больше других элементов другого множества. Покажем, что нам выгодно увеличивать 1 элемент множества, чтобы увеличить его сумму в степени n: докажем это.

скажем что a > b

(a ^ n) + b ^ n < (a + 1) ^ n + (b - 1) ^ n

это можно увидеть раскрыв скобки и приведя подобные

следовательно если 2 множества различны или не равны 0 система не выполняется