Question

решить Задача на лето
(для особо умных, это алгебра, некоторые думают, что геометрия)

Answer 1

Объяснение:

у нас по условию есть точки

А(5;8)

В(0; у) - лежит на оси оу

С(1; -4)

из того, что это ромб, мы понимаем, что стороны АВ = ВС

$\displaystyle AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2=(0-5)^2+(y-8)^2=25+y^2-16y+64=\\\\=y^2-16y+89$

аналогично считаем ВС

$\displaystyle BC^2=(1-0)^2+(-4-y)^2=1+16+8y+y^2=y^2+8y+17$

и теперь

$\displaystyle y^2-16y+89=y^2+8y-17\\\\-16y+89=8y+17\\-24y=-72\\\\y=3$

мы нашли координаты точки В(0;3)

теперь мы можем провести прямую через точки A(5;8) и В(0;3)

мы будем проводить и ещё прямые. я здесь распишу подробно как найти уравнение прямой, проходящей через две точки. дальше буду вывод уравнения опускать. писать только само уравнение

итак, прямая через точки А(5;8) и В(0;3)

$\displaystyle \frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A} \\\\\frac{x-5}{0-5} =\frac{y-8}{3-8} \\\\\frac{x-5}{-5} =\frac{y-8}{-5}$

мы получили каноническое уравнение прямой

из него легко получить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = x + 3

теперь мы знаем, что поскольку это ромб, то АВ║CD

тогда уравнение прямой CD (через точки С и D) имеет тот же коэффициент угла наклона (коэффициент при х), что и прямая АВ, т.е. это уравнение вида

у=x+b

и эта прямая проходит через точку С(1; -4), значит координаты точки С должны удовлетворять уравнению прямой. подставим координаты точки С в уравнение

-4 = 1+b  ⇒  b = -5

и тогда мы имеем уравнение прямой CD

у = х - 5

аналогично найдем уравнение прямой АD

сначала уравнение прямой ВС  (по двум точкам)

у = -7х +3

а потом уравнение ║ ей прямой AD

y  = -7x +b  она проходит через точку А

8 = (-7)*5+ b  b = 43

уравнение прямой AD

y = -7x + 43

теперь мы можем найти координаты точки D как пересечение прямых ВС и CD

$\displaystyle \left \{ {{y=-7x+43} \atop {y=x-5\hfill}} \right.$

x - 5 = -7x +43

8x = 48  

x = 6;   y = 1

мы нашли координаты точки D(6; 1)

итак, наши точки

А(5;8)

В(0; 3)

С(1;4)

D(6; 1)

теперь уравнение диагонали BD

уравнение прямой, проходящей через две точки

$\displaystyle \frac{x-6}{0-6} =\frac{y-1}{3-1} \\\\\frac{x-6}{-6} =\frac{y-1}{2}$

или

$\displaystyle \boldsymbol { y=-\frac{1}{3} x+3}$

ответ

уравнение диагонали BD       $\displaystyle y=-\frac{1}{3} x+3$

точка В(0; 3)

точка D(6; 1)

на графике изображены все прямые и все точки