Question

В приложении. Для yugolovin.

Answer 1

Если один из углов тупой или прямой, неравенство очевидно, так как в этом случае левая часть отрицательна или равна нулю. Поэтому можно предположить, что все углы острые. Докажем, что произведение косинусов достигает максимума, когда треугольник равносторонний, то есть когда все углы равны 60 градусам.

Наряду с треугольником с углами a, b и y рассмотрим равнобедренный треугольник с углами $\frac{a+b}{2},\ \frac{a+b}{2},\ y.$   Этот треугольник также будет остроугольным, то есть косинусы его углов положительны. Докажем, что при такой процедуре произведение косинусов не уменьшится. В самом деле,

$\cos a\cdot \cos b\cdot \cos y=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}\cdot \cos y\le \frac{\cos(a+b)+1}{2}\cdot \cos y=\cos^2\frac{a+b}{2}\cdot \cos y$

При этом левая часть равна правой только если cos(a-b)=1, то есть

a=b (то есть когда треугольник с самого начала был равнобедренным).

Дальше есть огромный соблазн посмотреть хитрым взглядом на доказанное и посчитать задачу выполненной, рассуждая так: применяя указанную процедуру многократно, выбирая каждый раз, если это возможно, неравные углы (а если все углы равны, то все очевидно), будем получать углы, все менее и менее отличающиеся друг от друга; в пределе они  будут равны 60 градусам). Но мы не поддадимся этому соблазну (хотя и рассказали о нем, чтобы читатель знал в принципе о том, какими хитрыми иногда пользуются математики, и возможно сам захотел стать математиком).

Более приземленный состоит в следующем: пусть

$\frac{a+b}{2}=c;\ y=\pi-2c;$

получаем выражение

$\cos^2c\cdot \cos(\pi-2c)=\frac{1+\cos 2c}{2}\cdot (-\cos 2c)=-\frac{1}{2}(t^2+t),$ где t=cos 2c∈(-1;0).

График получившейся функции - парабола с ветвями вниз, принимающая наибольшее значение при t=-1/2∉(-1;0). Это наибольшее значение равно 1/8 (кстати, cos 2c=-1/2 при 2c=120°; c=60°).