Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 10. Выясни, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных
Первым делом, давайте представим, что первый член нашей арифметической прогрессии равен а, а разность прогрессии равна d.
Таким образом, у нас есть следующие члены прогрессии:
1-й член: а
2-й член: а + d
3-й член: а + 2d
4-й член: а + 3d
5-й член: а + 4d
Согласно условию задачи, если утроить 2-й член арифметической прогрессии и прибавить его к 4-му члену, то получится число 10:
3(а + d) + (а + 3d) = 10
Раскроем скобки:
3а + 3d + а + 3d = 10
Соберем все одинаковые слагаемые вместе:
4а + 6d = 10
Теперь рассмотрим произведение 3-го и 5-го членов прогрессии: (а + 2d)(а + 4d)
Раскроем скобки:
а*а + 2а*4d + 2d*а + 2d*4d
Соберем подобные члены:
а^2 + 8аd + 8d^2
Нам нужно найти такую разность прогрессии (d), чтобы это было самое маленькое возможное значение произведения (а^2 + 8аd + 8d^2).
Сначала, чтобы сделать наше решение математически проще, давайте заменим (а^2 + 8аd) на (у), и нашу проблему приведем к виду:
у + 8d^2
Теперь нам нужно найти минимальное значение у + 8d^2.
Наименьшее значение у будет, если у = 0. Поэтому, для этого у нас должно быть:
а^2 + 8аd = 0
Замечаем, что здесь есть общий множитель (а) в каждом из членов, поэтому мы можем вынести его:
а(a + 8d) = 0
Таким образом, у нас есть два варианта для решения этого уравнения:
1) а = 0
2) a + 8d = 0
Первый вариант означает, что а равно 0, но в этом случае все члены прогрессии будут равны 0, и это не единственное решение нашей задачи.
Поэтому, рассмотрим второй вариант:
a + 8d = 0
Отсюда мы можем найти значение d:
d = -a/8
Это означает, что разность прогрессии должна быть равна -a/8.
Таким образом, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных, разность прогрессии должна быть равна -a/8, где а - первый член прогрессии.
d=33/41
Объяснение: нужно применить производную