7.5) 1) Производная дроби как функции определяется по формуле:
(fg) ′ = (f′⋅g - f⋅g′)g².
f' = (0 - 1*(-2x + 2))/((-x² + 2x - 3)²) = (2(x - 1))/((-x² + 2x - 3)²).
Приравняем производную нулю (достаточно числитель):
2(х - 1) = 0.
Получили критическую точку х = 1.
Находим знаки производной левее и правее этой точки:
х = 0 1 2
y' = -0,2222 0 0,2222 .
Как видим, в точке х = 1 производная меняет знак с - на +.
Это минимум функции у = 1/(-1² + 2*1 - 3) = -(1/2).
2) Если под корнем находится сложная функция , то производная от корня этой функции будет равна: единице, деленной на два таких же корня и умноженной на производную подкоренного выражения, то есть : y' = (1/(2√(2 - x))*(-1) + (1/(2√(x + 1))*1 =
= (1/2)*((1/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x =
= (1/2)*((1/(√(2 - x) - √(x + 1))/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x)).
Приравняем нулю (числитель): √(2 - x) - √(x + 1) = 0.
√(2 - x) = √(x + 1). Возведём в квадрат: 2 - x = x + 1. 2х =1. х = 1/2.
Это критическая точка х = (1/2).
х = 0 1/2 1
y' = 0,14645 0 -0,14645 .
В точке х = (1/2) максимум функции: у(1/2) = √6.
(-1 1/4) · (-25) · 4/5 - (-36) : 3/4 + (-16,5) · 4 1/4 = 2 7/8
1) (-1 1/4) · (-25) = 5/4 · 25 = 125/4 (-) · (-) = (+)
2) 125/4 · 4/5 = 125/5 = 25
3) (-36) : 3/4 = (-36)/1 · 4/3 = -12 · 4 = -48 (-) : (+) = (-)
4) (-16,5) · 4 1/4 = (-33/2) · 17/4 = -561/8 = -70 1/8
5) 25 - (-48) = 25 + 48 = 73
6) 73 + (-70 1/8) = 72 8/8 - 70 1/8 = 2 7/8
ответ: 2 целых 7/8 (или 2,875 в десятичных дробях).