Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде Тогда (х+2) км/ч - скорость катера по течению реки (х-2) км/ч - скорость катера против течения реки 5(х+2) км - расстояние, пройденное катером по течению реки 7(х-2) км - расстояние, пройденное катером против течения реки По условию задачи: катер одинаковое расстояние по течению и против течения реки Уравнение: 5(х+2) = 7(х-2) 5х+10 = 7х-14 5х-7х = -14-10 -2х = -24 х = -24:(-2) х = 12
скорость катера в стоячей воде 12 км/ч 5*(12+2) = 5*14 = 70 км - проплыл катер по течению реки
3*9^n + 7*7^2n = 3*(3^2)^n + 7*7^2n = 3^3n + 7^3n. Докажем индукцией по n кратность исходного выражения 10. При n = 1 кратность подтверждается: 3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370 = 37*10. Допустим, что 3^3n + 7^3n кратно 10. Докажем, что для любого n оно кратно и при n + 1. Тогда 3^3(n+1) + 7^3(n+1) = 3^3n*3 + 7^3n*7 = (3+7)*(3^n+7^3n) - 3*7^3n - 7*3^3n = (3+7)*(3^3n+7^3n) - 3*7(3^3(n-1) + 7^3(n-1)) = 10*(3^3n+7^3n) - 21*(3^3(n-1) + 7^3(n-1)). Первый член кратен 10, так же, как и второй, поскольку 3^3(n-1) + 7^3(n-1) кратно 10 по предположению индукции. Следовательно, исходное число 3*9^n + 7*7^2n кратно 10 при любом натуральном n.
