Одно: n = 9376
Объяснение:
n(n-1) делится на 10^4.
Если одно из чисел (n или n-1) не делится ни на 2, ни на 5, то оно взаимно просто с 10000, и другое число обязано делиться на 10000. Очевидно, таких четырехзначных n, что n или n-1 делится на 10000, нет. Значит, оба числа делятся на 2 или на 5. Два числа вместе делиться на 2 или на 5 не могут, т.к. различаются на 1. Значит, одно из них делится на 2 (не делится на 5), а другое на 5 (не делится на 2).
Пусть, n = 
* b (a - степень вхождения 5 в разложение n, a≥1). Т.к. n-1 и n взаимно просты, n-1 не делится на 5, поэтому, чтобы n(n-1) делилось на 
, нужно чтобы а было ≥ 4.
n ≡ 0 mod .
Аналогично n-1 ≡ 0 mod 
(т.к. n не делится на 2) ⇒ n ≡ 1 mod 2^4
Видно, что n = 625 подходит. По кит. т. об остатках, все остальные n получаются прибавлением константы * = 10000, умноженной на целое число. Значит, таких четырехзначных n не существует.
Пусть, n = 
* b (a - степень вхождения 2 в разложение n, a≥1). Т.к. n-1 и n взаимно просты, n-1 не делится на 2, поэтому, чтобы n(n-1) делилось на , нужно чтобы а было ≥ 4.
n ≡ 0 mod
Аналогично n-1 ≡ 0 mod (т.к. n не делится на 5) ⇒ n ≡ 1 mod 5^4
Видно, что n = 9376 подходит. По кит. т. об остатках, все остальные n получаются прибавлением константы * = 10000, умноженной на целое число. Значит, существует только 1 четырехзначное n = 9376.
Если моё решение Вам отметьте его как лучшее.
2)Аналитически
По-моему мнению, решая неравенства, самый рациональный через тригонометрический круг. Но мы разберем сразу 2 варианта.
№1. Тригонометрический круг
Как мы помним, на круге отсчитываем синус по игреку. Ищем значение 1/2, и проводим хорду так, чтобы она проходила через точку 1/2 (по игреку, напомню еще раз). То, что ниже этой хорды и будут решениями неравенства. Нетрудно сообразить, что sin30 градусов даст 1/2. Но и sin150 градусов даст 1/2. Таким образом, отсюда вытекает двойное неравенство:
150<sinx<30
P.S. Все, что я обвел желтым - это решение данного неравенства (рис. 1)
№2. Аналитический
Рассмотрим уравнение:
Решая уравнение, получим:
Чтобы неравенство было верным, нужно, чтобы угол альфа был меньше, или равен корням уравнения sinx=1/2.
Опять же, отсюда вытекает двойное неравенство:
150<sinx<30