Log(3)x+log(x)3-2,5≥0 перейдём к одному основанию 3 :log(x)3=1\log(3)x log(3)x+1\log(3)x-2,5≥0 приведём к общему знаменателю log²(3)x-2,5log(3)x+1≥0 ОДЗ:х>0 введём замену переменной , пусть log(3)x=t t²-2,5t+1≥0 умножим каждый член уравнения на 2 2t²-5t+2≥0 D=25-16=9 t1=1\2 t2=2 log(3)x=1\2 x=√3 log(3)x=2 x=9 на числовой прямой отметим точки √3 и 9 ( закрашенные , так как они принадлежат промежутку). Прямая разбивается на на 3 промежутка : (-∞;√3] [√3 ; 9] [9 ; ∞) положительное значение с учётом ОДЗ приобретает на промежутке х∈(0;√3] и [9;∞)
Пусть (x₀;y₀) - точка касания. Так как точка (x₀;y₀) находится на параболе y=x², то точка имеет координаты (x₀;x²₀)
0 < x₀< 6
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x₀;y₀) имеет вид:
y- f(x₀)=f`(x₀)(x-x₀)
f`(x)=2x
f`(x₀)=2x₀
y -x²₀ =2x₀(x-x₀)
y=2x₀x - x²₀ - уравнение касательной
Касательная пересекает ось Ох в точке A(x₀/2)
2x₀x - x²₀=0
x₀(2x - x₀)=0
х=x₀/2
Касательная пересекает прямую х=3 в точке B(3; 6x₀ - x²₀)
y=2x₀ 3 - x²₀
y = 6x₀ - x²₀
Пусть С(3;0)
BC=6x₀ - x²₀
AC=3-(x₀/2)
S_(Δ)=(1/2)AC*BC=(1/2)(3-(x₀/2))·(6x₀ - x²₀) - исследуем функцию на экстремум на [0;3]
Обозначим x₀=t
S(t)=(1/2)(3-(t/2))·(6t - t²)
S(t)=(1/4)(6-t)·(6t - t²)
S(t)=(1/4)*F(t)
F(t)=t(6-t)^2
S(t) принимает наибольшее значения в тех же точках, в каких и F(t)
Исследуем на [0;3]
F`(t)=t`·(6-t)²+t·((6-t)²)`=(6-t)²+t·2(6-t)·(6-t)`=(6-t)(6-t-2t)=(6-t)(6-3t)
F`(t)=0
6-t=0 ⇒ t=6 не принадлежит [0;3] или 6-3t=0 ⇒ t=2 принадлежит [0;3]
t=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
О т в е т. S(2)=(1/4)(6-2)·(6·2 - 2²) ; S(2)=8 - наибольшее значение