Question

Докажите, что в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа, что их сумма или разность делится на 100.

Answer 1

Если среди этих чисел есть противоположные, то их сложим, получим 0, и он всегда делится на 100. Если среди них есть одинаковые, то вычтем их и тоже получим 0, который делится на 100. Если взаимно противположных и одинаковых нет, объединим это множество  чисел $a_1,\ldots a_{52}$ с множеством противоположных чисел $-a_1,\ldots, -a_{52}$ , они будут отличаться от тех, что есть у всех кроме 0 (если он есть). Получится не меньше 51+51+1=103 числа. Рассмотрим остатки этих 103-ех чисел при делении на 100. Т.к. 103 больше 100, то есть два числа с одинаковым остатком, значит их разность делится на 100. А их разность это, либо разность каких-то исходных, либо их сумма (быть может со знаком минус)

Answer 2

Мысленно представим множества — $[0], [1-99], [2-98], [3-97], ..., [49-51], [50]$. Соотносим с множеством остаток числа от деления его на 100. Как минимум два числа из 52 будут вместе присутствовать в некотором множестве.