Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Answer 1

$r_1=cos\varphi\ \ ,\ \ r_2=2cos\varphi \ \ \ ,\ \ \ \ S=\dfrac{1}{2}\int\limits^{a}_{b}\, r^2(\varphi )\, d\varphi \\\\\\\displaystyle S=S_2-S_1=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi /2}_{-\pi /2}4cos^2\varphi\, d\varphi-\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi /2}^{\pi /2}cos^2\varphi \, d\varphi =\frac{1}{2}\cdot 2\int\limits_0^{\pi /2}\, 3cos^2\varphi \, d\varphi =$

$\displaystyle =3\int\limits_0^{\pi /2}\frac{1+cos2\varphi }{2}\, d\varphi =\frac{3}{2}\int\limits_0^{\pi /2}(1+cos2\varphi )\, d\varphi =\dfrac{3}{2}\cdot \Big(\varphi +\frac{1}{2}\cdot sin2\varphi \Big)\Big|_0^{\pi /2}=\\\\\\=\frac{3}{2}\cdot \Big(\dfrac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot sin\pi -0-\frac{1}{2}\cdot sin0\Big)=\frac{3}{2}\cdot \dfrac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}$