Question

Исследовать функцию z = z( x, y) на экстремум

Answer 1

Функция $z$ имеет экстремум который является минимумом в точке (1;0) и $z_{min} = -1$

Объяснение:

$z = x^{2} + xy + x^{2} -2x - y$

$z_{x}' = (x^{2} + xy + y^{2} -2x - y)_{x}' = 2x + y - 2$

$z_{y}' = (x^{2} + xy + y^{2} -2x - y)_{y}' = x + 2y - 1$

$\displaystyle \left \{ {{z_{x}' = 0} \atop {z_{y}' = 0}} \right.$$\displaystyle\left \{ {{2x + y - 2=0} \atop {x + 2y - 1=0}} \right.$  $\displaystyle\left \{ {{y =2 - 2x} \atop {x + 2y=1}} \right. \Longrightarrow x + 2(2 - 2x) = 1$

$x + 2(2 - 2x) = 1$

$x + 4 - 4x = 1$

$3x = 3|:3$

$x = 1$

$y = 2 - 2x = 2 - 2 * 1 = 2 - 2 = 0$

$(1;0)$

$z_{xx}'' = (2x + y - 2)_{x}' = 2$

$z_{yy}'' = (x + 2y - 1)_{y}' = 2$

Функция имеет экстремум

$z(1;0) = 1^{2} + 1 * 0 + 0^{2} - 2 * 1 - 0 = 1 - 2 = -1$