Question

3 примера по тригонометрии

Answer 1

${\rm tg}\, a+{\rm tg}\, b=\dfrac{\sin a}{\cos a}+\dfrac{\sin b}{\cos b}=\dfrac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b}=\dfrac{\sin(a+b)}{\frac{1}{2}(\cos(a-b)+\cos(a+b))}\Rightarrow$

${\rm tg}\, (\frac{7\pi}{4}+\frac{1}{2}\arccos\frac{2}{7})+{\rm tg}\, (\frac{7\pi}{4}-\frac{1}{2}\arccos\frac{2}{7})=\dfrac{2\sin\frac{7\pi}{2}}{\cos\arccos\frac{2}{7}+\cos\frac{7\pi}{2}}=\dfrac{-2}{2/7}=-7.$

ответ: -49

$\arcsin \frac{11}{14}=a\in (0;\frac{\pi}{2});\ \arcsin\frac{13}{14}=b\in (0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow a+b\in (0;\pi)\Rightarrow$

$a+b=\arccos \cos(a+b)=\arccos(\cos a\cos b -\sin a\sin b)=$

$=\arccos\left(\sqrt{1-(\frac{11}{14})^2} \sqrt{1-(\frac{13}{14})^2}-\frac{11\cdot 13}{14\cdot 14}\right)=\arccos\frac{45-143}{14\cdot 14}=\arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}.$

ответ: 2

x\in (0;1]⇒$\frac{x-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\in[-1;1].$ Рассмотрим $a\in [0;\frac{\pi}{2}]$  ($a=\arcsin x)$ такой, что

$\sin a =x\Rightarrow \cos a=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow \frac{x-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}= \sin a\cos \frac{\pi}{4}-\cos a\sin \frac{\pi}{4}=\sin(a-\frac{\pi}{4}).$

Поскольку $a-\frac{\pi}{4}\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\Rightarrow \arcsin (\sin(a-\frac{\pi}{4}))=a-\frac{\pi}{4}=\arcsin x-\frac{\pi}{4}.$

ответ: $\frac{1}{4}.$

Замечание. Мы использовали формулы

$\sin(\arcsin x)=x;\ \cos(\arccos x)=x;\ \cos(\arcsin x)=\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2};$

$\arcsin(\sin a)=a,$ если $a\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}];$$\arccos(\cos a)=a,$ если $a\in [0;\pi].$