Question

Доказать, что при любом натуральном n число an =n^3+5n делится на 6.

Answer 1

 Методом мат индукция при n=1 верно   ,то  при  k=n+1 
 $(n+1)^3+5(n+1) = n^3 + 3n^2 +8n+6 \\ n^3+5n+3n^2+3n+6\\ n^3+5n=A_{n}\\ A_{n} +3n^2+3n+6 = A_{n}+6n^2-3n^2+6n-3n+6 =\\A_{n}+6n(n+1)-(3n^2+3n)+6\\ A_{n}+6n(n+1)-3n(n+1)+6\\ A_{n}+(6n-3n)(n+1)+6\\ A_{n}+3n(n+1)+6$

То есть n(n+1)  это два последовательных чисел, и хот бя одно из них содержит
 число 2 ,   а так как оно еще умножается на  3 , то оно делиться на 6 
то есть все выражение делится  на 6 , так как A(n) уже делится , 6 тоже и искомое выражение     тоже делится на  6