Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a=125 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 122,4 меньше X меньше127,6 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,4 мм. Какой отклонение длины детали от "а" можно гарантировать с вероятностью 0,98?
Для начала, давайте разберемся с вероятностью того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 123,4 мм.
Мы знаем, что фактическая длина изготовленных деталей находится в интервале 122,4 мм < X < 127,6 мм. Это означает, что наша длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a=125 мм и неизвестной дисперсией σ^2.
Задача требует найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 123,4 мм. Для этого мы можем воспользоваться стандартизацией нормального распределения.
За нулевую гипотезу (H0) примем, что длина детали меньше 123,4 мм. Тогда наша задача сводится к нахождению P(X < 123,4).
Для вычисления этой вероятности, нам нужно найти Z-значение (стандартизированное значение) для длины 123,4 мм. Z-значение рассчитывается как (X - a) / σ, где X - заданная длина, a - математическое ожидание, а σ - стандартное отклонение.
Однако, у нас нет информации о значении σ (стандартное отклонение). Поэтому мы не можем найти точное значение вероятности.
Мы можем оценить вероятность, используя стандартное отклонение σ какое-то значение и вычислить Z-значение. Давайте предположим, что σ=1, и проведем вычисления:
Z = (123,4 - 125) / 1 = -1,6
Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор для нахождения вероятности P(Z < -1,6). Если мы предположим, что σ=1, то найдем значение вероятности равной 0,0548.
Однако, поскольку мы не знаем точное значение σ, мы также не знаем точное значение вероятности P(X < 123,4). Тем не менее, мы можем утверждать, что вероятность будет близка к 0,0548.
Теперь рассмотрим вторую часть задачи про отклонение длины детали от a с вероятностью 0,98.
Мы знаем, что вероятность попасть в интервал (a-σ, a+σ) для нормального распределения с математическим ожиданием a составляет около 0,68, что означает в данной задаче, что две стандартные девиации со стандартным отклонением α находятся в наблюдательной выборке. Вероятность попасть в интервал (a-2σ, a+2σ) составляет около 0,95 и так далее.
Так как нам нужно найти значение отклонения σ, при котором вероятность попасть в интервал (a-kσ, a+kσ) равна 0,98, мы можем воспользоваться таблицей нормального распределения и найти значение Z при котором P(Z < Z0) = 0,98, где Z0 - это стандартизированное значение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением равным единице.
Из таблицы нормального распределения мы видим, что P(Z < 2,33) ≈ 0,9900. Таким образом, значение Z, при котором вероятность попасть в интервал (a-kσ, a+kσ) равна 0,98, составляет приблизительно 2,33.
Теперь мы можем выразить kσ из уравнения Z = (a - kσ - a) / σ = (a - a + kσ) / σ = k, где k - это отклонение в стандартных отклонениях и составляет 2,33.
Таким образом, мы можем гарантировать, что отклонение длины детали от a будет равно 2,33 стандартных отклонения с вероятностью 0,98.
Надеюсь, я вам помог в решении данной задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!