![\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(x+1)^{n}\cdot 3^{n}}{\sqrt[3]{n^4}\cdot 4^{n}}\\\\\\\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{|x+1|^{n+1}\cdot 3^{n+1}}{\sqrt[3]{(n+1)^4}\cdot 4^{n+1}}\cdot \frac{\sqrt[3]{n^4}\cdot 4^{n}}{|x+1|^{n}\cdot 3^{n}}=\frac{3}{4}\cdot |x+1|](/tpl/images/2039/0719/1bdaa.png)
![\displaystyle x=\frac{1}{3}:\ \ \sum \limits _{n =1}^{\infty }\frac{(\frac{4}{3})^{n}\cdot 3^{n}}{\sqrt[3]{n^4}\cdot 4^{n}}=\sum \limits _{n =1}^{\infty }\frac{1}{n^{4/3}}\ \ -\ sxoditsya\\\\\\x=-\frac{7}{3}:\ \ \sum \limits _{n =1}^{\infty }\frac{(-\frac{4}{3})^{n}\cdot 3^{n}}{\sqrt[3]{n^4}\cdot 4^{n}}=\sum \limits _{n =1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{4/3}}\ \ -\ sxoditsya\ absolutno\\\\\\x\in \Big[-\frac{7}{3}\ ;\ \frac{1}{3}\ \Big]](/tpl/images/2039/0719/74f6a.png)
Из исходного равенства видно, что p>q, в противном случае равенство не выполнялось бы. Предположим, что p=q+k, где k - натуральное. Тогда 2q+k=(q+k-q)^3, отсюда 2q+k=k^3 или 2q=k^3-k=k(k^2-1). Тогда q=k(k^2-1)/2. Отсюда сразу видно, что q будет простым только при k=2, поскольку при k=1 получаем 0, а при k>2 будем получать составные числа, а по условию q простое. Итак, при k=2, q=2*(2^2-1)/2=3. Тогда p=q+k=3+2=5. Это единственное решение удовлетворяющее данному равенству.
ответ: p=5, q=3.
