Question

Найти среднее арифметическое корней уравнения (в градусах) sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x на промежутке [0, 180]

Answer 1

 Группируем
$(sinx+sin3x)+sin2x=(cosx+cos3x)+cos2x\\\\2sin2xcosx+sin2x-2cos2xcosx-cos2x=0\\\\sin2x(1+2cosx)-cos2x(1+2cosx)=0\\\\(1+2cosx)(sin2x-cos2x)=0\\\\1)\; 1+2cosx=0\; ,\; cosx=-\frac{1}{2}\; , x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\\\\a)\; 0 \leq \frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq \pi ,\; -\frac{2}{3} \leq 2n \leq 1-\frac{2}{3},\; \; -\frac{1}{3} \leq n \leq \frac{1}{6}\\\\celoe\; \; n=0\; \to \; x=\frac{2\pi}{3}\\\\b)\; 0 \leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi n \leq \pi$ 
 $\frac{2}{3} \leq 2n \leq 1+\frac{2}{3}\; ,\; \frac{1}{3} \leq n \leq \frac{5}{6}$
 В этом промежутке нет целого значения n.
 $2) \; sin2x-cos2x=0\; ,\; \; sin2x-sin(\frac{\pi}{2}-2x)=0\\\\2sin(2x-\frac{\pi}{4})cos\frac{\pi}{4}=0\; ,\; 2\frac{\sqrt2}{2}\cdot sin(2x-\frac{\pi}{4})=0\\\\2x-\frac{\pi}{4}=\pi k,x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\\\\0 \leq \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2} \leq \pi \; ,\; -\frac{\pi}{8} \leq \frac{\pi k}{2} \leq \pi -\frac{\pi}{8}\; ,\; -\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{7}{4}\\\\celoe\; \; k=0\; \to \; x=\frac{\pi}{8}\; ,\; \; \\\\k=1\; \to \; \; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$
 Среднее арифметическое корней:

$\frac{1}{3}(\frac{\pi}{8}+\frac{5\pi}{8}+\frac{2\pi}{3})=\frac{1}{3}\cdot \frac{17\pi }{12}=\frac{17\pi}{36}$