Question

5. составить уравнение прямой, проходящей через центр окруж- ности x y x y 2 2 + +4 2− −20=0 параллельно прямой x y − + 2 3=0. сделать чертеж. 6. составить уравнение плоскости, перпендикулярной прямой x y − z = + − = 2 + 3 1 2 3 2 и проходящей через точку a( ; − −1 2; ) 1 .

Answer 1

Даны точки, через которые проходит плоскость π1: 
А(2; -2; 5), B(-2; 1; 4) 
Дано ур-ие плоскости π2, к которой перпендикулярна плоскость π1: 
2x + 3y - 4z + 2 = 0 
Нужно найти ур-ие плоскости π1. 

Решение: 
Нормаль плоскости π2 "n = (2; 3; -4)" будет перпендикулярна самой плоскости и параллельна плоскости π1 
Возьмём произвольную точку M(x; y; z) ∈ π1 
Тогда условие компланарности векторов задаёт уравнение плоскости π1: 
(AM, AB, n) = 0 - по сути дела это смешанное произведение векторов. 

AM = (x - 2; y + 2; z - 5) 
AB = (-4; 3; -1) 
n = (2; 3; -4) 

Составляем определитель и решаем его по правилу треугольника: 

(x - 2)*(-12) + (z - 5)*(-12) + (y + 2)*(-2) - (z - 5)*6 - (x - 2)*(-3) - (y + 2)*16 = 0 
-12x + 24 - 12z + 60 - 2y - 4 - 6z + 30 + 3x - 6 - 16y - 32 = 0 
-9x - 18y - 18z + 72 = 0 |*(-1) 
9x + 18y + 18z - 72 = 0 
Тогда уравнение плоскости π1 равно 9x + 18y + 18z - 72 = 0