Question

Найдите область определения функции : а) у=5 / х²+2; б) у=7х² / х(х+4); в) у=√2х²+3х-2; г) у=√х+4 / √х-5

Answer 1

 а) у=5 / х²+2;
Область определения этой функции - все значения, кроме тех, при которых знаменатель равен 0. Чтобы найти эти значения, решаем уравнение:
х²+2=0
х²=-2
Это уравнение не имеет решений, так как квадрат числа всегда ≥0
Значит, функция определена на всей числовой оси.
ответ:
$(-\infty;+\infty)$

б) у=7х² / х(х+4);
Аналогично, решаем уравнение:
х(х+4)=0
x₁=0
x₂=-4
ответ: $(-\infty;-4) U (-4;0) U (0;+\infty)$

в) у=√2х²+3х-2;
Выражение под корнем не может быть меньше нуля. Решаем сначала уравнение:
2х²+3х-2=0
D=9+4*2*2=25
x₁=(-3+5)/4=1/2
x₂=(-3-5)/4=-2
На числовой оси отмечам корни x₁ и x₂ и отмечаем знаки получившихся промежутков:

     +                                        -                                      + 
---------------------------------------------------------------------------------------
              -2                                                    1/2

Нам нужны те промежутки, где знак "+".
ответ: $(-\infty;-2] U [1/2;+\infty)$

г) у=√х+4 / √х-5
Во-первых, имеем два выражения под корнем, и во-вторых, знаменатель:
x+4≥0                      x-5≥0                           x-5≠0
x≥-4                         x≥5                              x≠5
Находим пересечение решений трёх неравенств:

$[-4;+\infty;)$
$[5;+\infty) \\ (-\infty;5)U(5;+\infty)$

ответ: $(5;+\infty)$