Question

Как доказать: если m - корень возвратного уравнения 4-ой степени (в общем виде), то и 1/m корень этого же уравнения

Answer 1

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=p(x)$
Дано: $p(m)=0$ ⇒ $am^4+bm^3+cm^2+dm+e=0$
$am^4+bm^3+cm^2+dm+e=0/*\frac{1}{m^2}$ ⇒ $am^2+bm+c+\frac{d}{m}+\frac{e}{m^2}=0$
$(am^2+\frac{e}{m^2})+(bm+\frac{d}{m})+c=0$
$(am^2+\frac{e}{m^2})=(e\frac{1}{m^2}+\frac{a}{\frac{1}{m^2}}),(bm+\frac{d}{m})=(d\frac{1}{m}+\frac{b}{\frac{1}{m}})$ ⇒
$(am^2+\frac{e}{m^2})+(bm+\frac{d}{m})+c=(e\frac{1}{m^2}+\frac{a}{\frac{1}{m^2}})+(d\frac{1}{m}+\frac{b}{\frac{1}{m}}) +c$
Известно, что: $(am^2+\frac{e}{m^2})+(bm+\frac{d}{m})+c=0$
Транзитивно:
$(e\frac{1}{m^2}+\frac{a}{\frac{1}{m^2}})+(d\frac{1}{m}+\frac{b}{\frac{1}{m}}) +c=0$ ⇒ 
$e\frac{1}{m}^4+d\frac{1}{m}^3+c\frac{1}{m}^2+b\frac{1}{m}+a=0$
Доказано.

P.S. Важный аспект: имеем право домножить на $\frac{1}{m^2}$ потому, что $m\neq 0$. Вывод следует из неоднородности многочлена. При $m=0, p(m)=0=e=0$