Question

Проверяющий олимпиады после тяжёлого трудового дня покидает рабочий кабинет, освен щение в котором работает в нескольких режимах. Когда проверяющий вышел из комна-
ты, он плотно закрыл за собой дверь и встал у кнопки, которая переключает эти режимы
(режимы переключаются по порядку от первого до последнего, после последнего идет
выключение, а затем все заново). Но, к сожалению, проверяющий очень устал и забыл
точное количество режимов, а помнит лишь, что их было не больше 5 (не считая вы-
ключенного состояния) и что сейчас включён первый режим проверяющему
выключить свет в кабинете, если он не может видеть, какой режим включён

Answer 1

По условию известно, что режимов освещения было не больше 5. То есть их могло быть:

1, 2, 3, 4, 5

Так как существует также полное отключение освещения, всего состояний может быть:

2, 3, 4, 5, 6

Найдем, сколько раз нужно нажать на кнопку, чтобы независимо от точного количества режимов вернуться в тот же самый режим. Для этого, нужно найти число, которое делится на 2, 3, 4, 5, 6 без остатка. То есть, другими словами нужно найти НОК этих чисел.

$2;\ 3;\ 4=2^2;\ 5;\ 6=2\cdot3$

$HOK(2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6)=2^2\cdot3\cdot5=60$

Таким образом, если нажать на кнопку 60 раз, то мы перейдем к такому же состоянию, с которого все начиналось.

По условию сейчас включен первый режим, также известно, что именно перед первым режимом идет состояние полного отключения. Значит, нажав на кнопку 60 раз мы вернемся к первом режиму, а если мы нажмем на кнопку на 1 раз меньше, то есть 59 раз, то мы полностью выключим свет.

Найденный является простейшим с той точки зрения, что нажать на кнопку можно и большее количество раз, а именно любое количество, задаваемое формулой $60n-1$, где $n\in\mathbb{N}$, и свет также будет отключен.

ответ: нажать на кнопку 59 раз