Question

Решите системное уравнение

Answer 1

$\begin{equation*}\begin{cases}\sin x - \cos y = 0\\\sin^2x + \cos^2y = 2\end{cases}\end{equation*}$

Введём две замены: $u = \sin x,\ -1\leqslant u \leqslant 1$  и  $v = \cos y,\ -1\leqslant v\leqslant 1$.

$\begin{equation*}\begin{cases}u - v = 0\\u^2 + v^2 = 2\end{cases}\end{equation*}$

Перенесём в верхней части $v$ в правую сторону.

$\begin{equation*}\begin{cases}u = v\\u^2 + v^2 = 2\end{cases}\end{equation*}$

Теперь выполним подстановку в нижнее уравнение и решим его отдельно.

$v^2 + v^2 = 22v^2 = 2v^2 = 1$\left[\begin{gathered}v = 1\\v = -1\\\end{gathered}$

Получили два значения $v$, теперь для каждого получим значение $u$.

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}v = 1\\u = v\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}v = -1\\u=v\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}v = 1\\u = 1\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}v = -1\\u=-1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

А теперь выполняем обратную замену.

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}\cos y = 1\\\sin x = 1\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}\cos y = -1\\\sin x=-1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}y = 2\pi kx = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi m\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}y = \pi + 2\pi nx = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi l\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \ \ \ k,m,n,l \in \mathbb{Z}$

Получили два решения системы, что и является ответом.

ответ: $\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi m,\ 2\pi k\right);\ \left(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi l,\ \pi + 2\pi n\right)$ .